Question

如圖，在平面直角坐標系中，動點P從點A（0，10）出發(fā)，以3個單位/秒的速度沿y軸向點O勻速運動，動點Q從點B（5，0）同時出發(fā)，以1單位/秒的速度沿x軸向點O勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一點也停止運動．設運動的時間為t秒．以P、Q為圓心作⊙P和⊙Q，且⊙P和⊙Q的半徑分別為4和1．
（1）若⊙P與Rt△AOB的一邊相切，求此時動點P的坐標；
（2）若⊙P與線段AB有兩個公共點，求t的取值范圍；
（3）是否存在某一時刻t，使⊙Q與Rt△AOB的邊AB相切？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：（1）①若⊙P與AB相切于點H，連接PH，如圖1①，易證△AHP∽△AOB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)就可求出t的值，就可得到點P的坐標；若⊙P與OB相切于點O，如圖1②，容易求出OP的值，就可得到點P的坐標．
（2）若⊙P與線段AB有兩個公共點，過點P作PH⊥AB于點H，如圖2，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得到PH的長（用t的代數(shù)式表示），由⊙P與線段AB有兩個公共點可得AP≥4且PH＜4，由此就可求出t的取值范圍．
（3）若⊙Q與Rt△AOB的邊AB相切于點G，連接QG，如圖3，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出t的值．

解答：解：（1）①若⊙P與AB相切于點H，連接PH，如圖1①，

則PH⊥AB于點H．
∵A（0，10）即OA=10，B（5，0）即OB=5，∠AOB=90°，
∴AB=

OA2+OB2

=

100+25

=5

5

．
∵∠AHP=∠AOB=90°，∠PAH=∠BAO，
∴△AHP∽△AOB，
∴

PH

OB

=

AP

AB

．
∵PH=4，AP=3t，
∴

4

5

=

3t

5 5

，∴t=

4 5

3

．
此時OP=OA-AP=10-4

5

，點P的坐標為（0，10-4

5

）．
②若⊙P與OB相切于點O，如圖1②，

則有OP=4，點P的坐標為（0，4）．
綜上所述：當⊙P與Rt△AOB的一邊相切時，點P的坐標為為（0，10-4

5

），（0，4）．

（2）若⊙P與線段AB有兩個公共點，過點P作PH⊥AB于點H，如圖2，

∵A（0，10）即OA=10，B（5，0）即OB=5，∠AOB=90°，
∴AB=

OA2+OB2

=

100+25

=5

5

．
∵∠AHP=∠AOB=90°，∠PAH=∠BAO，
∴△AHP∽△AOB，
∴

PH

OB

=

AP

AB

，∴

PH

5

=

3t

5 5

，
∴PH=

3 5

5

t．
∵⊙P與線段AB有兩個公共點，
∴

3t≥4 3 5 5 t＜4

，
解得：

4

3

≤t＜

4 5

3

．
∴當⊙P與線段AB有兩個公共點時，t的取值范圍為

4

3

≤t＜

4 5

3

．

（3）若⊙Q與Rt△AOB的邊AB相切于點G，連接QG，如圖3，

則有QG⊥AB．
∵∠QGB=∠AOB=90°，∠GBQ=∠OBA，
∴△BGQ∽△BOA，
∴

QG

AO

=

QB

AB

，
∴

1

10

=

t

5 5

，
∴t=

5

2

．
此時

5

2

＜

10

3

，符合要求．
∴當t=

5

2

時，⊙Q與Rt△AOB的邊AB相切．

點評：本題主要考查了切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、解不等式組等知識，運用相似三角形的性質(zhì)是解決本題的關鍵．