Question

如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是平行四邊形，直線l經(jīng)過O、C兩點，點A的坐標為（8，o），點B的坐標為（11，4），動點P在線段OA上從點O出發(fā)以每秒1個單位的速度向點A運動，同時動點Q從點A出發(fā)以每秒2個單位的速度沿A→B→C的方向向點C運動，過點P作PM垂直于x軸，與折線O一C-B相交于點M。當P、Q兩點中有一點到達終點時，另一點也隨之停止運動，設(shè)點P、Q運動的時間為t秒（t>0），△MPQ的面積為S。
（1）點C的坐標為___________，直線的解析式為____________；
（2）試求點Q與點M相遇前S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應的t的取值范圍；
（3） 試求題（2）中當t為何值時，S的值最大，并求出S的最大值；
（4）隨著P、Q兩點的運動，當點M在線段CB上運動時，設(shè)PM的延長線與直線l相交于點N。試探究：當t為何值時，△QMN為等腰三角形？請直接寫出t的值。

Answer 1

解：（1）（3，4）；；
（2）根據(jù)題意，得OP=t，AQ=2t，
分三種情況討論：
①當時，如圖1，M點的坐標是（），
過點C作CD⊥x軸于D，過點Q作QE⊥ x軸于E，可得△AEO∽△ODC，
∴，
∴，
∴，
∴Q點的坐標是（），
∴PE=，
∴S=，
②當時，如圖2，過點q作QF⊥x軸于F，
∵，
∴OF=，
∴Q點的坐標是（），
∴PF=，
∴S=，
③當點Q與點M相遇時，，
解得，
③當時，如圖3，MQ=，MP=4，
S=，
①②③中三個自變量t的取值范圍；
（3）① 當時，
∵，
拋物線開口向上，對稱軸為直線，
∴當時，S隨t的增大而增大，
∴當時，S有最大值，最大值為，
②當時，，
∵，
拋物線開口向下，
∴當時，S有最大值，最大值為，
③當時，，
∵，
∴S隨t的增大而減小，
又∵當t=3時，S=14，
當時，S=0，
∴，
綜上所述，當時，S有最大值，最大值為；
（4）當時，△QMN為等腰三角形。