Question

6．已知：如圖，在菱形ABCD中，AB=5，聯(lián)結(jié)BD，sin∠ABD=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．點P是射線BC上的一個動點（點P不與點B重合），聯(lián)結(jié)AP，與對角線BD相交于點E，聯(lián)結(jié)EC．
（1）求證：AE=CE；
（2）當(dāng)點P在線段BC上時，設(shè)BP=x，△PEC的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；
（3）當(dāng)點P在線段BC的延長線上時，若△PEC是直角三角形，求線段BP的長．

Answer 1

分析 （1）由菱形的性質(zhì)得出BA=BC，∠ABD=∠CBD．由SAS證明△ABE≌△CBE，即可得出結(jié)論．
（2）聯(lián)結(jié)AC，交BD于點O，過點A作AH⊥BC于H，過點E作EF⊥BC于F，由菱形的性質(zhì)得出AC⊥BD．由三角函數(shù)求出AO=OC=$\sqrt{5}$，BO=OD=$2\sqrt{5}$．由菱形面積得出AH=4，BH=3．由相似三角形的性質(zhì)得出$\frac{AE}{EP}=\frac{AD}{BP}$，求出EF的長，即可得出答案；∴$\frac{AE+EP}{EP}=\frac{AD+BP}{BP}$，
（3）因為點P在線段BC的延長線上，所以∠EPC不可能為直角．分情況討論：
①當(dāng)∠ECP=90°時，②當(dāng)∠CEP=90°時，由全等三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)即可得出答案．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴BA=BC，∠ABE=∠CBE．
在△ABE和△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{BA=BC}&{\;}\\{∠ABE=∠CBE}&{\;}\\{BE=BE}&{\;}\end{array}\right.$
又∵BE=BE，
∴△ABE≌△CBE
∴AE=CE．
（2）連接AC，交BD于點O，過點A作AH⊥BC，過點E作EF⊥BC，如圖1所示：
垂足分別為點H、F．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．
∵AB=5，$sin∠ABD=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
∴AO=OC=$\sqrt{5}$，BO=OD=$2\sqrt{5}$．
∵$\frac{1}{2}AC•BD=BC•AH$，
∴AH=4，BH=3．
∵AD∥BC，
∴$\frac{AE}{EP}=\frac{AD}{BP}$，
∴$\frac{AE+EP}{EP}=\frac{AD+BP}{BP}$，
∴$\frac{AP}{EP}=\frac{5+x}{x}$，
∴$\frac{EP}{AP}=\frac{x}{5+x}$．
∵EF∥AH，
∴$\frac{EF}{AH}=\frac{PE}{AP}$，
∴$EF=\frac{4x}{5+x}$．
∴$y=\frac{1}{2}PC•EF=\frac{1}{2}（{5-x}）\frac{4x}{5+x}=\frac{{10x-2{x^2}}}{5+x}（{0＜x＜5}）$．
（3）因為點P在線段BC的延長線上，所以∠EPC不可能為直角．如圖2所示：
①當(dāng)∠ECP=90°時
∵△ABE≌△CBE，
∴∠BAE=∠BCE=90°，
∵$cos∠ABP=\frac{AB}{BP}=\frac{BH}{AB}$，
∴$\frac{5}{BP}=\frac{3}{5}$，∴BP=$\frac{25}{3}$．
②當(dāng)∠CEP=90°時，
∵△ABE≌△CBE，
∴∠AEB=∠CEB=45°，
∴$AO=OE=\sqrt{5}$，
∴$ED=\sqrt{5}$，$BE=3\sqrt{5}$．
∵AD∥BP，
∴$\frac{AD}{BP}=\frac{DE}{BE}$，
∴$\frac{5}{BP}=\frac{{\sqrt{5}}}{{3\sqrt{5}}}$，
∴BP=15．
綜上所述，當(dāng)△EPC是直角三角形時，線段BP的長為$\frac{25}{3}$或15．

點評 本題是四邊形綜合題目，考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識；本題綜合性強，有一定難度，證明三角形全等和三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．