Question

4．如圖，一次函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x+m與坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在直線AB上，且AC=2AB，以A為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)線段AC，使得點(diǎn)C恰好落在Y軸正半軸上點(diǎn)C′處．
（1）求∠CAC′的正切值；
（2）點(diǎn)E是直線AC′上一點(diǎn)，連接CE，BE，若△ACE與△BCE相似，且m=1，求此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，作CD垂直于X軸，將△AOC′沿Y軸向下以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向下運(yùn)動(dòng)，將△ACD沿著CA方向在直線AC上衣每秒$\sqrt{5}$單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，求出在此運(yùn)動(dòng)過(guò)程中兩三角形重疊部分面積的最大值以及當(dāng)時(shí)的t值．

Answer 1

分析 （1）由題意A（-2m，0），B（0，m），C（2m，2m），C′（0，4m），推出AO=2m，OB=m，C′B=3m．作C′H⊥AC于H，由△AOB∽△C′HB，可得C′H=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$m，BH=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$m，根據(jù)tan∠CAC′=$\frac{C′H}{AH}$，計(jì)算即可；
（2）設(shè)E（n，2n+4），由EC²=（n-2）²+（2n+4-2）²，AB=BC=$\sqrt{5}$，由△CAE∽△CEB，推出EC²=CB•CA，可得（n-2）²+（2n+4-2）²=10，解方程即可解決問(wèn)題；
（3）分三種情形討論即可①如圖1中，當(dāng)0＜t＜1時(shí)，重疊部分是四邊形MNBK．②如圖2中，當(dāng)1≤t＜$\frac{6}{5}$時(shí)，重疊部分是四邊形MNCD．③當(dāng)$\frac{6}{5}$≤t≤$\frac{8}{5}$時(shí)，重疊部分是△MND．分別求解即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）由題意A（-2m，0），B（0，m），C（2m，2m），C′（0，4m），
∴AO=2m，OB=m，C′B=3m．
作C′H⊥AC于H，由△AOB∽△C′HB，可得C′H=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$m，BH=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$m，

∵AB=$\sqrt{5}$m，
∴AH=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
∴tan∠CAC′=$\frac{C′H}{AH}$=$\frac{3}{4}$．

（2）當(dāng)m=1時(shí)，A（-2，0），B（0，1），C（2，2），C′（0，4），
∴直線AC′的解析式為y=2x+4，
設(shè)E（n，2n+4），
∴EC²=（n-2）²+（2n+4-2）²，AB=BC=$\sqrt{5}$，
∵△CAE∽△CEB，
∴EC²=CB•CA，
∴（n-2）²+（2n+4-2）²=10，
解得n=$\frac{-2±\sqrt{14}}{5}$，
∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（$\frac{-2+\sqrt{14}}{5}$，$\frac{16+2\sqrt{14}}{5}$）或（$\frac{-2-\sqrt{14}}{5}$，$\frac{16-2\sqrt{14}}{5}$）．

（3）①如圖1中，當(dāng)0＜t＜1時(shí)，重疊部分是四邊形MNBK．

S=S_△ABK-S_△AMN=-$\frac{13}{12}$t²+2t+1，當(dāng)t=$\frac{12}{13}$時(shí)，S最大值=$\frac{25}{13}$．
②∵直線A′C′的解析式為y=2x+4-2t，直線AC的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+1}\\{y=2x+4-2t}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{4t-6}{3}$，
當(dāng)點(diǎn)C在直線A′C′上時(shí)，2-2t=$\frac{4t-6}{3}$，解得t=$\frac{6}{5}$，
∴當(dāng)1≤t＜$\frac{6}{5}$時(shí)，重疊部分是四邊形MNCD，

S=S_△ACD-S_△AMN=-$\frac{25}{12}$t²+$\frac{5}{3}$t+1，當(dāng)t=1是，S最大值=$\frac{7}{12}$．
③∵點(diǎn)D在直線y=$\frac{1}{2}$x-1上運(yùn)動(dòng)，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x-1}\\{y=2x+4x-2t}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{4t-10}{3}$，
當(dāng)點(diǎn)D在直線A′C′上時(shí)，2-2t=$\frac{4t-10}{3}$，解得t=$\frac{8}{5}$，
∴當(dāng)$\frac{6}{5}$≤t≤$\frac{8}{5}$時(shí)，重疊部分是△MND，

S=S_△MND=$\frac{25}{4}$t²-20t+16，當(dāng)t=$\frac{6}{5}$時(shí)，S 最大值=1，
綜上所述，重疊部分的面積的最大值為$\frac{25}{13}$，此時(shí)t=$\frac{12}{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查一次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、解直角三角形、二次函數(shù)的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)圓分類討論的思想思考問(wèn)題，學(xué)會(huì)構(gòu)建一次函數(shù)利用方程組確定靈活函數(shù)圖象的交點(diǎn)，屬于中考?jí)狠S題．