Question

14．如圖，在等邊△ABC中，線段AM為BC邊上的中線，動點D在直線AM上時，以CD為一邊在CD的下方作等邊△CDE，設(shè)直線BE與直線AM的交點為O．
（1）如圖1，點D在線段AM上，①求證：AD=BE；②求證：∠AOB=60°
（2）當動點D在線段MA的延長線上時，試判斷（1）中∠AOB的度數(shù)是否會發(fā)生改變？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）①如圖1中，只要證明△ACD≌△BCE即可．
②先證明∠CAM=30°，由△ACD≌△BCE得∠OBM=∠CAM=30°，由此即可解決問題．
（2）如圖②中，結(jié)論不變．證明方法類似（1）．

解答 （1）證明：①如圖1中，∵△ABC和△DCE都是等邊三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE
②∵BM=CM，AB=AC，∠BAC=60°，
∴AM⊥BC，∠BAM=∠CAM=30°，
∴∠AMC=∠MBO=90°，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠OBM=∠CAM=30°，
∵∠OBM+∠BOM=90°
∴∠AOB=60°
（2）如圖②中，結(jié)論：∠AOB的度數(shù)不變．
理由：∵△ABC和△DCE都是等邊三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
：∵BM=CM，AB=AC，∠BAC=60°，
∴AM⊥BC，∠BAM=∠CAM=30°，
∴∠AMC=∠MBO=90°，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴∠DAC=∠EBC，
∴∠OBM=∠CAM=30°，
∴∠AOB=90°-∠OBM=60°．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形，靈活運用全等三角形的性質(zhì)解決問題，屬于中考�？碱}型．