Question

18．（1）問題發(fā)現(xiàn)
如圖1，△ABC和△BDE均為等邊三角形，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接CD．
填空：
①∠CDB的度數(shù)為60°；
②線段AE，CD之間的數(shù)量關(guān)系為AE=CD．
（2）拓展探究
如圖2，△ABC和△DBE均為等腰直角三角形，∠ABC=∠DBE=90°，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，BF為△DBE中DE邊上的高，連接CD，請(qǐng)判斷∠CDB的度數(shù)及線段BF，AD，CD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（3）解決問題
如圖3，在正方形ABCD中，CD=2，CE⊥AE于E，∠BAE=∠BCE，若AE=1，結(jié)合（1），（2）的解題經(jīng)驗(yàn)和結(jié)論，請(qǐng)求出點(diǎn)B到AE的距離．

Answer 1

分析 （1）由條件易證△BCD≌△BAE，從而得到：CD=AE，∠BDC=∠BEA．求出∠CDB=60°；
（2）仿照（1）中的解法可求出∠CDB的度數(shù)，證出CD=AE；BF是△DBE均為等腰直角三角形，得出CD=AE=AD+DE=AD+2BF．
（3）先判斷出△PBE是等腰直角三角形，借助（2）結(jié)論得到由（2）的結(jié)論可得，CE=AE+2BH，求出BH即可．

解答 解：（1）①∵△ACB和△DBE均為等邊三角形，
∴BA=CB，BD=BE，∠ABC=∠DBE=60°．
∴∠ABE=∠CBD．
在△BCD和△BAE中，
∵AB=BC，∠ABE=∠CBD，BD=BE，
∴△BCD≌△BAE（SAS），
∴∠CDB=∠BEA．
∵△DBE為等邊三角形，
∴∠CDB=∠BED=60°．
故答案為：60°．
②∵△BCD≌△BAE，
∴CD=AE，
故答案為：CD=AE，
（2））∠CDB=45°，CD=AD+2BF
理由：∵△ACB和△DBE均為等腰直角三角形，
∴BA=CB，BD=BE，∠ABC=∠DBE=90°．
∴∠ABE=∠CBD．
在△BCD和△BAE中，
∵AB=BC，∠ABE=∠CBD，BD=BE，
∴△BCD≌△BAE（SAS），
∴∠CDB=∠AEB，CD=AE
∵BF是△DBE均為等腰直角三角形，
∴∠CDB=∠AEB=45，DE=2BF，
∴CD=AE=AD+DE=AD+2BF．
∴∠CDB=45°，CD=AD+2BF；
（3）如圖，

連接EB，ED，作BH⊥CE，BP⊥BE，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAC=45°，AB=AD=CD=BC=2，∠ABC=90°，
∴AC=2$\sqrt{2}$，
∵AE=1，
∴CE=$\sqrt{7}$，
∵A，E，B，C四點(diǎn)共圓，
∴∠BCE=∠CAB=45°，
∴△PBE是等腰直角三角形，
∵△ABC是等腰直角三角形，且C，E，P共線，BH⊥CE，
∴由（2）的結(jié)論可得，CE=AE+2BH，
∴$\sqrt{7}$=2BH+1，
∴BH=$\frac{\sqrt{7}-1}{2}$．
過點(diǎn)B作BG⊥AE于G，
∴△ABG≌△CBH，
∴BG=BH=$\frac{\sqrt{7}-1}{2}$．
即：點(diǎn)B到AE的距離為$\frac{\sqrt{7}-1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是四邊形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，解本題的關(guān)鍵是全等三角形的判定．