Question

2．如圖，過圓O直徑的兩端點(diǎn)M、N各引一條切線，在圓O上取一點(diǎn)P，過O、P兩點(diǎn)的直線交兩切線于R、Q．
（1）求證：△NPQ∽△PMR；
（2）如果圓O的半徑為$\sqrt{5}$，且S_△PMR=4S_△PNQ，求NP的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）只要證明兩角對(duì)應(yīng)相等即可證明．
（2）作NF⊥RQ于F，MK⊥RQ于K，連接ME，先證明△OMR≌△ONQ，得到OR=OQ，MK=FN，由題意S_△PMR=4S_△PNQ，推出PR=4PQ，即2$\sqrt{5}$+a=4a，求出a，然后利用勾股定理求出QN、利用面積法求出FN，再利用勾股定理即可解決問題．

解答 （1）證明：∵NQ、RM是⊙O切線，
∴NQ⊥MN，MR⊥MN，
∴NQ∥MR，
∴∠Q=∠R，
∵M(jìn)N是直徑，
∴∠MPN=∠MNQ=90°，
∴∠MNP+∠NMP=90°，∠MNP+∠PNQ=90°，
∴∠QNP=∠NMP，
∵OM=OP，
∴∠OPM=∠OMP，
∴∠QNP=∠RPM，
∴△NPQ∽△PMR．
（2）解：作NF⊥RQ于F，MK⊥RQ于K，連接ME，
在△OMR和△ONQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠R=∠Q}\\{∠RMO=∠QNO}\\{OM=ON}\end{array}\right.$，
∴△OMR≌△ONQ，
∴OR=OQ，MK=FN（全等三角形對(duì)應(yīng)邊上高相等）
∵OE=OP，
∴RE=PQ，時(shí)PQ=RE=a，
由題意S_△PMR=4S_△PNQ，
∴PR=4PQ，即2$\sqrt{5}$+a=4a，
∴a=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$．
在RT△ONQ中，∵∠ONQ=90°，ON=$\sqrt{5}$，OQ=$\frac{5\sqrt{5}}{3}$，
∴NQ=$\sqrt{O{Q}^{2}-O{N}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$，
∵$\frac{1}{2}$•OQ•FN=$\frac{1}{2}$•ON•QN，
∴FN=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
在RT△OFN中，∵∠OFN=90°，ON=$\sqrt{5}$，F(xiàn)N=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴OF=$\sqrt{O{N}^{2}-F{N}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
在RT△PNF中，∵∠PFN=90°，PF=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，F(xiàn)N=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴PN=$\sqrt{P{F}^{2}+F{N}^{2}}$=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理，面積法求高等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用勾股定理、面積法，屬于中考�？碱}型．