Question

4．如圖，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于點(diǎn)E，AD⊥BC于點(diǎn)D，AD=BD，AD與BE交于點(diǎn)F，連接CF，求證：BF=2AE．

Answer 1

分析 求出∠ADC=∠BDF，∠DAC=∠DBF，根據(jù)ASA推出△BDF≌△ADC，根據(jù)全等得出AC=BF，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出AC=2AE，即可得出答案．

解答 證明：∵BE⊥AC，AD⊥BC，
∴∠AEB=∠ADC=∠BDF=90°，
∵∠AFE=∠BFD，∠FBD+∠BDF+∠BFD=180°，∠AEB+∠AFE+∠DAC=180°，
∴∠DAC=∠DBF，
在△BDF和△ADC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠FBD=∠DAC}\\{BD=AD}\\{∠BDF=∠ADC}\end{array}\right.$
∴△BDF≌△ADC，
∴BF=AC，
∵AB=BC，BE⊥AC，
∴AE=CE，
即AC=2AE，
∴BF=2AE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定和等腰三角形的性質(zhì)，能求出△BDF≌△ADC是解此題的關(guān)鍵．