Question

如圖，直線AC ∥BD ，聯(lián)結(jié)AB ，直線AC ，BD 及線段AB 把平面分成①，②，③，④四個部分，規(guī)定線上各點不屬于任何部分．當動點P 落在某個部分時，聯(lián)結(jié)PA ，PB ，構(gòu)成∠PAC ，∠APB ，∠PBD 三個角．
  (1) 如圖(a) ，當動點P 落在第①部分時，求證：∠APB= ∠PAC+ ∠PBD
 (2) 當動點P 落在第②部分時，∠APB= ∠PAC+ ∠PBD 是否成立（直接回答成立或不成立）?  
(3) 當動點P 在第③部分時，全面探究∠PAC ，∠APB ，∠PBD 之間的關(guān)系，并寫出動點P 的具體位置和相應的結(jié)論．選擇其中一種結(jié)論加以證明

Answer 1

解：(1)過P作直線PQ平行于AC．
因為PQ∥AC，AC∥BD，
所以PQ∥BD，
所以∠PAC=∠APQ，∠PBD=∠BPQ.
又因為∠APQ+∠BPQ=∠APB，
所以∠PAC+∠PBD=∠APB
(2)不成立
(3)當P在BA延長線左側(cè)時，∠APB=∠PAC-∠PBD；
當P在BA延長線上時不成立關(guān)系；
當P在BA延長線右側(cè)時，∠APB=∠PBD-∠PAC
證明：當P在BA延長線右側(cè)時，
過P做直線PQ平行于AC，
因為PQ∥AC，AC∥BD，
所以PQ∥BD，
所以∠PAC=∠QPA，
∠PBD=∠BPQ,
∠APB=∠BPQ-∠QPA=∠PBD-∠PAC