Question

20．已知關(guān)于x的一元二次方程（a-1）x²-2x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，
（1）求a的取值范圍；
（2）在（1）中選擇一個合適的a，求代數(shù)式（1-$\frac{1}{a-1}$）$÷\frac{{a}^{2}-4a+4}{{a}^{2}-1}$ 的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到a-1≠0且△=（-2）²-4（a-1）＞0，然后解兩個不等式得到它們的公共部分即可；
（2）首先化簡分式，進一步選擇一個合適的a的值，代入求得答案即可．

解答 解：（1）∵一元二次方程（a-1）x²-2x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，
∴a-1≠0且△=（-2）²-4（a-1）＞0，
解得a＜2且a≠1．
（2）原式=$\frac{a-2}{a-1}$•$\frac{（a+1）（a-1）}{（a-2）^{2}}$
=$\frac{a+1}{a-2}$，
當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時，
原式=-1．

點評 本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實數(shù)根．也考查了一元二次方程的定義與分式的化簡求值．