Question

【題目】在平行四邊形ABCD中，E是AD上一點(diǎn)，AE=AB，過(guò)點(diǎn)E作射線(xiàn)EF，

(1)若∠DAB=60°，EF∥AB交BC于點(diǎn)H，請(qǐng)?jiān)趫D1中補(bǔ)全圖形，并直接寫(xiě)出四邊形ABHE的形狀；

(2)如圖2，若∠DAB=90°，EF與AB相交，在EF上取一點(diǎn)G，使得∠EGB=∠EAB，連接AG.請(qǐng)?jiān)趫D2中補(bǔ)全圖形，并證明點(diǎn)A，E，B，G在同一個(gè)圓上；

(3)如圖3，若∠DAB=(0°<<90°)，EF與AB相交，在EF上取一點(diǎn)G，使得∠EGB=∠EAB，連接AG.請(qǐng)?jiān)趫D3中補(bǔ)全圖形(要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡)，并求出線(xiàn)段EG、AG、BG之間的數(shù)量關(guān)系(用含的式子表示)；

Answer 1

【答案】(1)菱形；(2)證明見(jiàn)解析；(3)EG=2AG·sin+BG.

【解析】

(1)根據(jù)題目要求畫(huà)出示意圖，根據(jù)有一組對(duì)邊相等是平行四邊形是菱形即可判斷四邊形ABHE的形狀.

(2) 連接BE，OG，以BE的中點(diǎn)O為圓心，以OB的長(zhǎng)為半徑作圓.則

根據(jù)直角三角形斜邊的中線(xiàn)等于斜邊的一半，得到根據(jù)等量代換得到即可證明.

(3) 首先作∠GAH=∠EAB交GE于點(diǎn)H．作AM⊥EG于點(diǎn)M，易證得△ABG≌△AEH，又由∠EAB=α，易得繼而證得結(jié)論；

(1)如圖所示：

四邊形ABHE為菱形.

(2)連接BE，OG，以BE的中點(diǎn)O為圓心，以OB的長(zhǎng)為半徑作圓.則圓O為的外接圓.

則

即

點(diǎn)A，E，B，G在同一個(gè)圓上；

(3)如圖，作∠GAH=∠EAB交GE于點(diǎn)H.作AM⊥EG于點(diǎn)M，

∴∠GAB=∠HAE.

∵點(diǎn)A，E，B，G在同一個(gè)圓上,

∴∠ABG=∠AEH.

在△ABG和△AEH中，

∴△ABG≌△AEH(ASA).

∴BG=EH，AG=AH.

∵∠GAH=∠EAB=α，

∴

∵

∴EG=GH+BG.

∴