Question

6．如圖1，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)．作正方形DEFG，使點(diǎn)A、C分別在DG和DE上，連接AE，BG．

（1）求證：AE=BG
（2）將正方形DEFG繞點(diǎn)D逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)α（0°＜α≤360°）如圖2所示，判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立？如果仍成立，請(qǐng)給予證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若BC=DE=4，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α為多少度時(shí)，AE取得最大值？直接寫(xiě)出AE取得最大值時(shí)α的度數(shù)，并利用備用圖畫(huà)出這時(shí)的正方形DEFG，最后求出這時(shí)AF的值．

Answer 1

分析 （1）在Rt△BDG與Rt△EDA；根據(jù)邊角邊定理易得Rt△BDG≌Rt△EDA；故BG=AE；
（2）連接AD，根據(jù)直角三角形與正方形的性質(zhì)可得Rt△BDG≌Rt△EDA；進(jìn)而可得BG=AE；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，求BG的最大值，分析可得此時(shí)F的位置，由勾股定理可得答案．

解答 （1）證明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴∠ADB=∠ADC=90°，AD=DC=DB，
∵四邊形DEFG是正方形，
∴DE=DG，
∴△ADE≌△BDG（SAS），
∴BG=AE；

（2）成立；
理由如下：如圖2，連接AD，
由（1）知AD=BD，AD⊥BC．
∴∠ADG+∠GDB=90°．
∵四邊形EFGD為正方形，
∴DE=DG，且∠GDE=90°．
∴∠ADG+∠ADE=90°
∴∠BDG=∠ADE．     
在△BDG和△ADE中，
∵BD=AD，∠BDG=∠ADE，GD=ED，
∴△BDG≌△ADE（SAS）
∴AE=BG；

（3）α=270°；
正方形DEFG如圖3所示
由（2）知BG=AE
∴當(dāng)BG取得最大值時(shí)，AE取得最大值．
∵BC=DE=4，
∴EF=4，
∴BG=2+4=6
∴AE=6    
在Rt△AEF中，由勾股定理，得
AF=$\sqrt{A{E}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{36+16}$=2$\sqrt{13}$．

點(diǎn)評(píng) 解答本題要充分利用正方形的特殊性質(zhì)．注意在正方形中的特殊三角形的應(yīng)用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三邊關(guān)系，可有助于提高解題速度和準(zhǔn)確率．