Question

⊙O經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且與x軸交于點(diǎn)A、DC⊥x軸于點(diǎn)C，且與⊙D交于點(diǎn)B，已知⊙D的半徑為2

3

，∠ODA=120°．
（1）求B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過(guò)O、B、A三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（3）在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使△PAO和△OBA相似？若有，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：（1）根據(jù)垂徑定理．由DC⊥OA得到OC=AC，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)由DA=DO，∠ODA=120°得到∠DOC=30°，則可計(jì)算出DC=

1

2

OD=

3

，OC=

3

DC=3，所以CB=DB-DC=

3

，于是可得到B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，-

3

）；
（2）由于OC=AC=3，則A點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0），設(shè)交點(diǎn)式，利用待定系數(shù)法求出經(jīng)過(guò)O、B、A三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（3）先證明△DOB和△DAB都是等邊三角形，則BO=BA，∠ABO=120°，所以∠BOA=∠BAO=30°，若△PAO和△OBA相似，則∠PAO=∠ABO=120°，∠POA=∠BOA=30°，作PH⊥x軸于H，如圖，可計(jì)算出∠PAH=60°，在Rt△PAH中利用∠APH=30°，AP=AO=6可計(jì)算出AH=

1

2

PA=3，PH=

3

AH=3

3

，則P點(diǎn)坐標(biāo)為（9，3

3

）
然后利用拋物線的對(duì)稱性點(diǎn)（-3，3

3

）也滿足要求，于是得到滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（9，3

3

）或（-3，3

3

）．

解答：解：（1）∵DC⊥OA，
∴OC=AC，
∵DA=DO，∠ODA=120°，
∴∠DOC=30°，
在Rt△ODC中，∵OD=2

3

，
∴DC=

1

2

OD=

3

，
∴OC=

3

DC=3，
∴CB=DB-DC=2

3

-

3

=

3

，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，-

3

）；
（2）∵OC=AC=3，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0），
設(shè)經(jīng)過(guò)O、B、A三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax（x-6），
把B（3，-

3

）代入得a•3•（3-6）=-

3

，解得a=

3

9

，
∴經(jīng)過(guò)O、B、A三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=

3

9

x（x-6）=

3

9

x²-

2 3

3

x；
（3）存在．
∵∠ODB=∠ADB=60°，
∴△DOB和△DAB都是等邊三角形，
∴BO=BA，∠ABO=60°+60°=120°，
∴∠BOA=∠BAO=30°，
∵△PAO和△OBA相似，
∴∠PAO=∠ABO=120°，∠POA=∠BOA=30°，
作PH⊥x軸于H，如圖，
∵∠PAO=120°，
∴∠PAH=60°，
在Rt△PAH中，∵∠APH=30°，AP=AO=6，
∴AH=

1

2

PA=3，PH=

3

AH=3

3

，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（9，3

3

）
點(diǎn)（9，3

3

）關(guān)于直線x=3的對(duì)稱點(diǎn)（-3，3

3

）也滿足要求，
∴滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（9，3

3

）或（-3，3

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理、等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求拋物線解析式；記住含30度的直角三角形三邊的關(guān)系；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．