Question

如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，P是斜邊AB上的一個動點（不與AB重合），過P分別作PM⊥AC，PN⊥BC，△AMP的面積是S₁，△PNB的面積是S₂，四邊形CMPN的面積是S₃，S₁+S₂與S₃之間有怎樣的關系？

Answer 1

解：S₁+S₂與S₃之間的關系是S₁+S₂≥S₃．
理由是：（1）當P是AB的中點Q時，過Q做QF⊥BC于F，QE⊥AC于E，連接CQ，
∵∠ACB=90°，
∴QF∥AC，QE∥BC，
∴E為AC的中點，F(xiàn)為BC的中點，
根據(jù)等底同高的三角形的面積相等，S_△AQE=S_△CQE，S_△CQF=S_△BQF，
∴S_△AQE+S_△BQF=S_△CQE+S_△CQF，
即：S₁+S₂=S₃．
（2）當P不是AB的中點Q時，如圖：
∵QF⊥BC，QE⊥AC，PM⊥AC，PN⊥BC，
∴QE∥PM，PN∥QF，
∴=，=，
∵AQ=BQ＞BP，
∴＜，
即：OP•PN＜OQ•OM，
∴S_{四邊形OPNF}＜S_{四邊形OQEM}，
∴S_{四邊形CNPM}＜S_{四邊形CEQF}，
即：S₃＜S_△ABC
而S_△ABC=S₁+S₂+S₃，
∴S₃＜S_△ABC=（S₁+S₂+S₃）
∴S₃＜S₁+S₂，
綜合上述：S₁+S₂與S₃之間的關系是S₁+S₂≥S₃．
答：S₁+S₂與S₃之間的關系是S₁+S₂≥S₃．
分析：（1）首先假設P是AB的中點時求出S₁+S₂=S₃；（2）當P不是中點時和圖形（1）比較利用平行線分線段成比例定理和矩形的面積公式求出S₁+S₂＞S₃，綜合（1）（2）即可得出答案．
點評：本題主要考查了面積及等積變換，平行四邊形的性質(zhì)和判定，三角形的面積，平行線分線段成比例定理等知識點，解此題的關鍵是分類討論．題目較好，但有一定的難度．