Question

求出滿足|12^m-5ⁿ|=7的全部正整數(shù)m，n．

Answer 1

分別取m=1，2，3，4，5，有：12¹=12，12²=144，12³=1728，12⁴=20736，12⁵=248832，根據(jù)這組數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)12^m的個(gè)位數(shù)是按照2，4，8，6進(jìn)行循環(huán)的．
分別取n=1，2，3，4，5，有：5¹=5，5²=25，5³=125，5⁴=625，5⁵=3125，根據(jù)這組數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)無論n取何正整數(shù)，5ⁿ的個(gè)位數(shù)都是5．
所以當(dāng)12^m-5ⁿ=7時(shí)，12^m的個(gè)位上的數(shù)應(yīng)是2，m=1，5，9…等數(shù)，取m=1代入12^m-5ⁿ=7，得到n=1；取m=5代入12^m-5ⁿ=7，得到n不是正整數(shù)，同理取m=9時(shí)得到的n不是正整數(shù)，因此要使12^m-5ⁿ=7，那么m=1，n=1．
當(dāng)12^m-5ⁿ=-7時(shí)，即12^m=5ⁿ-7，根據(jù)以上兩組數(shù)的個(gè)位上數(shù)的變化規(guī)律，12^m的個(gè)位數(shù)只能是8，m=3，7，11…等數(shù)，取m=3代入12^m-5ⁿ=-7，得到n不是正整數(shù)，同理m=7和m=11時(shí)得到的n不是正整數(shù)．
故滿足|12^m-5ⁿ|=7的正整數(shù)只有m=1，n=1．