Question

如圖，已知△ABC的高AE=5，BC=，∠ABC=45°，F(xiàn)是AE上的點，G是點E關(guān)于F的對稱點，過點G作BC的平行線與AB交于H、與AC交于I，連接IF并延長交BC于J，連接HF并延長交BC于K．
（1）求證：四邊形HIKJ是平行四邊形；
（2）當(dāng)點F在AE上運動并使點H、I、K、J都在△ABC的三條邊上時，求線段AF長的取值范圍．

Answer 1

解： （1）∵點G與點E關(guān)于點F對稱，∴GF=FE  ∵HI∥BC，∴∠GIF=∠EJF， 又∵∠GFI=∠EFJ，∴△GFI≌△EFJ， ∴GI=JE 同理可得HG=EK ，∴HI=JK ∴四邊形HIKJ是平行四邊形 （2）當(dāng)F是AE的中點時，A、G重合，所以AF=2.5 如圖1，∵AE過平行四邊形HIJK的中心F， ∴HG=EK，GI=JE ∴ ∵CE＞BE，∴GI＞ HG， ∴CK＞BJ. ∴當(dāng)點F在AE上運動時，點K、J 隨之在BC上運動，  如圖2，當(dāng)點F的位置使得B、J重合時，這時點K仍為CE上的某一點（不與C、E重合）， 而且點H、I也分別在AB、AC上 設(shè)EF=x，∵∠AHG=∠ABC=45°，AE=5， ∴BE=5=GI，AG=HG=5-2x，CE=-5 ∵△AGI∽△AEC， ∴AG∶AE=GI∶CE. ∴(5-2x)∶5=5∶(-5)  ∴x=1，∴AF=5-x=4 ∴＜AF≤4