Question

11．已知二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x²+mx+n．
（1）若這個二次函數(shù)的圖象與x軸交于點A（1，0），點B（3，0），求實數(shù)m，n的值；
（2）若△ABC是有一個內(nèi)角為30°的直角三角形，∠C為直角，sinA，cosB是方程x²+mx+n=0的兩個根，求實數(shù)m，n的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出m、n的值；
（2）分∠A=30°或∠B=30°兩種情況考慮：當(dāng)∠A=30°時，求出sinA、cosB的值，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可求出m、n的值；當(dāng)∠B=30°時，求出sinA、cosB的值，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可求出m、n的值．

解答 解：（1）將A（1，0）、B（3，0）代入y=x²+mx+n中，
$\left\{\begin{array}{l}{1+m+n=0}\\{9+3m+n=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-4}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴實數(shù)m=-4、n=3．
（2）當(dāng)∠A=30°時，sinA=cosB=$\frac{1}{2}$，
∴-m=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$，n=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$，
∴m=-1，n=$\frac{1}{4}$；
當(dāng)∠B=30°時，sinA=cosB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴-m=$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，n=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴m=-$\sqrt{3}$，n=$\frac{3}{4}$．
綜上所述：m=-1、n=$\frac{1}{4}$或m=-$\sqrt{3}$、n=$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、解直角三角形以及根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出m、n的值；（2）分∠A=30°或∠B=30°兩種情況，求出m、n的值．