Question

設a，b，c為實數(shù)，且a≠0．拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，且拋物線的頂點在直線y=-1上．若A，B，C三點構成一個直角三角形，求這個直角三角形的面積的最大值．

Answer 1

解：設y=ax²+bx+c交y軸于點C（0，c），c≠0，交x軸于點A（x₁，0）、B（x₂，0），且x₁＜0＜x₂，
由△ABC是直角三角形知，點C必為直角頂點，且c²=（-x₁）x₂=-x₁x₂（射影定理的逆定理），
由根與系數(shù)的關系得，x₁+x₂=-，x₁•x₂=，
所以c²=-，
∴c=-，
∵=-1，
∴4a=4+b²，且a≥1，
∴S_△ABC=×|c|×|x₁-x₂|
=
=
=≤1，
當且僅當a=1，b=0，c=-1時等號成立，因此，Rt△ABC的最大面積是1．
分析：先根據(jù)已知條件設出拋物線與x軸的交點，由射影定理的逆定理可求出c²=（-x₁）x₂=-x₁x₂，由根與系數(shù)的關系及拋物線的頂點坐標可求出4a=4+b²，且a≥1，再由三角形的面積公式及a的取值范圍可求出其最大面積．
點評：此題主要考查了拋物線與x軸的交點，以及一元二次方程根與系數(shù)的關系，難度較大，綜合性較強．