Question

如圖所示，在△ABC中，∠C=90°，內(nèi)切圓⊙O與三邊分別切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)．
（1）試說明四邊形OECF為正方形；
（2）若AD=6，BD=4，求AC和⊙O的半徑；
（3）若AB=c，BC=a，AC=b，試用關(guān)于a，b，c的代數(shù)式表示內(nèi)切圓的半徑r．

Answer 1

分析：（1）由在△ABC中，∠C=90°，內(nèi)切圓⊙O與三邊分別切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，可得∠OEC=∠OFC，又由OE=OF，即可證得四邊形OECF為正方形；
（2）首先設(shè)⊙O的半徑為r，由四邊形OECF為正方形，可得CF=CE=r，又由⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，即可得AF=AD=6，BE=BD=4，然后由勾股定理得：100=（6+r）²+（4+r）²，解此方程即可求得答案；
（3）由（2）易得：b-r+a-r=c，繼而求得答案．

解答：解：（1）∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，
∴OF⊥AC，OE⊥BC，
∴∠OEC=∠OFC=90°，
∵在△ABC中，∠C=90°，
∴四邊形OECF為矩形，
∵OE=OF，
∴矩形OECF為正方形；

（2）設(shè)⊙O的半徑為r，
∵四邊形OECF為正方形，
∴CF=CE=r，
∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，
∴AF=AD=6，BE=BD=4，
∴AB=AD+BD=10，AC=6+r，BC=4+r，
在Rt△ABC中，AC²=BC²+AC²，
∴100=（6+r）²+（4+r）²，
解得：r₁=2，r₂=-12（舍去），
∴AC=2+6=8，
∴AC=8，⊙O的半徑為2；

（3）∵設(shè)⊙O的半徑為r，
∵四邊形OECF為正方形，
∴CF=CE=r，
∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，
∴AF=AD=b-r，BE=BD=a-r，
∵AB=AD+BD，
∴b-r+a-r=c，
∴r=

a+b-c

2

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點(diǎn)評：此題考查了三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)、切線長定理、正方形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．