Question

已知△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，點P在BC邊上（P不與B、C重合）或點P在△ABC內(nèi)部，連接CP、BP，將CP繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段CE；將BP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段BD，連接ED交AB于點O．
（1）如圖a，當點P在BC邊上時，求證：OA=OB；
（2）如圖b，當點P在△ABC內(nèi)部時，
①OA=OB是否成立？請說明理由；
②直接寫出∠BPC為多少度時，AB=DE．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）根據(jù)△ABC為等腰直角三角形，則CA=CB，∠A=∠ABC=45°，由旋轉(zhuǎn)可知：CP=CE，BP=BD，則AE=BP，可證明△AEO≌△BDO，則OA=OB；
（2）①連接AE，易證△AEC≌△BCP，則AE=BP，∠CAE=∠BPC，可證明△AEO≌△BDO，則OA=OB，所以成立；
②設(shè)∠PCB=α，∠PBC=β，則四邊形BCED的四個內(nèi)角可以分別用α、β表示，利用四邊形內(nèi)角和為360°求出α+β的度數(shù)，最后在△BPC中，利用三角形內(nèi)角和定理求出∠BPC的度數(shù)．

解答：（1）證明：∵△ABC為等腰直角三角形，
∴CA=CB，∠A=∠ABC=45°，
由旋轉(zhuǎn)可知：CP=CE，BP=BD，
∴CA-CE=CB-CP，
即AE=BP，
∴AE=BD．
又∵∠CBD=90°，∴∠OBD=45°，
在△AEO和△BDO中，

∠AOE=∠BOD ∠A=∠OBD=45° AE=BD

，
∴△AEO≌△BDO（AAS），
∴OA=OB；

（2）成立，理由如下：
連接AE，則△AEC≌△BCP，
∴AE=BP，∠CAE=∠BPC，
∵BP=BD，
∴BD=AE，
∵∠OAE=45°+∠CAE，∠OBD=90°-∠OBP=90°-（45°-∠BPC）=45°+∠PBC，
∴∠OAE=∠OBD，
在△AEO和△BDO中，

∠AOE=∠BOD ∠OAE=∠OBD AE=BD

，
∴△AEO≌△BDO（AAS），
∴OA=OB，
②當∠BPC=135°時，AB=DE．理由如下：
解法一：
當AB=DE時，由①知OA=OB，∴OA=OB=OE=OD．
設(shè)∠PCB=α，由旋轉(zhuǎn)可知，∠ACE=α．
連接OC，則OC=OA=OB，∴OC=OE，
∴∠DEC=∠OCE=45°+α．
設(shè)∠PBC=β，則∠ABP=45°-β，∠OBD=90°-∠ABP=45°+β．
∵OB=OD，∴∠D=∠OBD=45°+β．
在四邊形BCED中，∠DEC+∠D+∠DBC+∠BCE=360°，
即：（45°+α）+（45°+β）+（90°+β）+（90°+α）=360°，
解得：α+β=45°，
∴∠BPC=180°-（α+β）=135°．
解法二（本溪趙老師提供，更為簡潔）：
當AB=DE時，四邊形AEBD為矩形
則∠DBE=90°=∠DBP，
∴點P落在線段BE上．
∵△ECP為等腰直角三角形，
∴∠EPC=45°，
∴∠BPC=180°-∠EPC=135°．

點評：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及等腰直角三角形，是重點題，要熟練掌握．