Question

如圖，在正方形ABCD中，M是AD的中點(diǎn)，連接BM，BM的垂直平分線交BC的延長(zhǎng)線于F，連接MF交CD于N，求證：
（1）BM=EF；
（2）2CN=DN。

Answer 1

解：（1）證明：過E點(diǎn)作EK⊥BC垂足為K ，過M作MH⊥BC垂足為H  
∴EK∥AH
∵EF是BM的垂直平分線  
∴E是BM中點(diǎn)，
∴EK=AH=
∵M(jìn)是AD中點(diǎn)    
∴AM=    
∴EK=AM            
∵四邊形ABCD是正方形   
∴∠ABC=
∵EF是BM的垂直平分線  
∴∠BEF=
∴∠ABM+∠MBF=，∠MBF+∠EFB=
∴∠ABM=∠EFB                              
在△ABM和△EFK中，AM=EK，∠ABM=∠EFB，∠A=∠EKF=
∴△ABMC≌△EFK (AAS)                      
∴AB= EF                                      
（2）設(shè)正方形邊長(zhǎng)為單位1，CF=x，HF=          
則BF=MF=1+x，在Rt△MHF中，
由勾股定理得：    
                  
∴   。