Question

在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點A（0，2），點C（-1，0），如圖所示，拋物線y=a²+ax-2經(jīng)過點B。

（1）求點B的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的解析式；
（3）在拋物線上是否還存在點P（點B除外），使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）過點B作BD⊥x，垂足為D， ∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠OAC=90° ∴∠BCD=∠CAO 又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC ∴△BCD≌△CAO ∴BD=OC=1，CD=OA=2 ∴點B的坐標(biāo)為（-3，1）；
（2）拋物線y=ax2+ax-2經(jīng)過點B（-3，1），則得到1=9a-3a-2，解得a=， 所以拋物線的解析式為y=；
（3）①若以點C為直角頂點；則延長BC至點P1，使得P1C=BC， 得到等腰直角三角形△ACP1，過點P1作P1M⊥x軸， ∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°， ∴△MP1C≌△DBC， ∴CM=CD=2，P1M=BD=1，可求得點P1（1，-1）； 經(jīng)檢驗點P1（1，-1）在拋物線上，使得△ACP1是等腰直角三角形 ②若以AC為直角邊，點A為直角頂點；則過點A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC， 得到等腰直角三角形△ACP2，過點P2作P2N⊥y軸，同理可證△AP2N≌△CAO， ∴NP2=OA=2，AN=OC=1，可求得點P2（2，1），經(jīng)檢驗，點P1（1，-1）與點P2（2，1）都在拋物線上，使得△ACP2也是等腰直角三角形。