Question

16．聯(lián)想三角形內(nèi)心的概念，我們可引入如下概念．
定義：到三角形的兩邊距離相等的點，叫做此三角形的準內(nèi)心．
舉例：如圖1，若PD=PE，則點P為△ABC的準內(nèi)心．
應用：如圖2，BF為等邊三角形的角平分線，準內(nèi)心P在BF上，且PF=$\frac{1}{2}$BP，求證：點P是△ABC的內(nèi)心．
探究：已知△ABC為直角三角形，∠C=90°，準內(nèi)心P在AC上，若PC=$\frac{1}{2}$AP，求∠A的度數(shù)．

Answer 1

分析 應用：由△ABC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠ABC=60°，由角平分線的性質(zhì)∴∠PBE=30°，得到PE=$\frac{1}{2}$PB，因為BF是等邊△ABC的角平分線，由三線合一得到BF⊥AC，PF=$\frac{1}{2}$BF，證得PE=PD=PF，得到結論P是△ABC的內(nèi)心；
探究：根據(jù)題意得：PD=PC=$\frac{1}{2}$AP，由銳角三角函數(shù)得到結論．

解答 解：應用：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=60°，
∵BF為角平分線，
∴∠PBE=30°，
∴PE=$\frac{1}{2}$PB，
∵BF是等邊△ABC的角平分線，
∴BF⊥AC，
∵PF=$\frac{1}{2}$BF，
∴PE=PD=PF，
∴P是△ABC的內(nèi)心；
探究：根據(jù)題意得：
PD=PC=$\frac{1}{2}$AP，
∵$SinA=\frac{PD}{AP}=\frac{{\frac{1}{2}AP}}{AP}=\frac{1}{2}$，
∴∠A是銳角，
∴∠A=30°．

點評 此題考查了圓的綜合，用到的知識點是角平分線的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)，等邊三角形的性質(zhì)，讀懂題意，弄清楚準內(nèi)心的定義是解題的關鍵．