Question

如圖，直角梯形ABCD，AD∥BC，AB=BC，點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，BD⊥CE，垂足為M．
（1）求證：CM=4EM；
（2）連AM交BC于G點(diǎn)，求的值；
（3）求．

Answer 1

（1）證明：在△BME與△CMB中，
，
∴△BME∽△CMB，
∴EM：BM=BM：CM=EB：BC，
∵AB=BC=2EB，
∴CM=2BM，BM=2EM，
∴CM=4EM；

（2）解：過點(diǎn)M作MN⊥AB，垂足為N，則MN∥BC，
∴BN：EN=CM：EM=4，
∴BN=4EN，BE=BN+EN=5EN=AE，AN=AE+EN=6EN，
∴AM：MG=AN：NB=6EN：4EN=3：2；

（3）解：設(shè)S_△ADM=k．
∵AD∥BC，
∴△ADM∽△GBM，
∴=（）²=，
∴S_△GBM=k．
∵===，
∴S_△ABG=S_△GBM=×k=k．
∴S_△AEM=S_△BEM=（S_△ABG-S_△GBM）=（k-k）=k，
∵===5，
∴S_△BCE=S_△BEM=k，
∴S_△CMG=S_△AEM+S_△BCE-S_△ABG=k+k-k=k，
∴=．
分析：（1）先由兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似得出△BME∽△CMB，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得到EM：BM=BM：CM=EB：BC，再結(jié)合已知條件AB=BC=2EB，即可證明CM=4EM；
（2）過點(diǎn)M作MN⊥AB，垂足為N，則MN∥BC，由平行線分線段成比例定理得出BN：EN=CM：EM=4，即BN=4EN，同理得出AM：MG=AN：NB=6EN：4EN=3：2；
（3）設(shè)S_△ADM=k，先由△ADM∽△GBM，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方得出S_△GBM=k，再由等底的兩個三角形面積之比等于高之比得出S_△ABG=S_△GBM=k，由點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，得出S_△AEM=S_△BEM=（S_△ABG-S_△GBM）=k，又===5，得出S_△BCE=S_△BEM=k，然后根據(jù)S_△CMG=S_△AEM+S_△BCE-S_△ABG，求出S_△CMG=k，進(jìn)而得出=．
點(diǎn)評：本題考查了直角梯形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，三角形的面積等知識，有一定難度．（3）中設(shè)S_△ADM=k，然后利用相似三角形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理及三角形的面積公式，用含k的代數(shù)式分別表示出S_△AEM、S_△BCE、S_△ABG是解題的關(guān)鍵．