Question

3．某種商品的成本為每件20元，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種商品在未來(lái)40天內(nèi)的日銷(xiāo)售量m（件）與x（天）的關(guān)系如表．

時(shí)間x（天）	1	3	6	10	36	…
日銷(xiāo)售量m（件）	94	90	84	76	24	…

未來(lái)40天內(nèi)，前20天每天的價(jià)格y₁（元/件）與時(shí)間x（天）的函數(shù)關(guān)系式為y₁=$\frac{1}{4}$x+25（1≤x≤20且x為整數(shù)），后20天每天的價(jià)格y₂（元/件）與時(shí)間x（天）的函數(shù)關(guān)系式為y₂=-$\frac{1}{2}$+40（21≤x≤40且x為整數(shù)）．
（1）求日銷(xiāo)售量m（件）與時(shí)間x（天）之間的關(guān)系式．
（2）請(qǐng)預(yù)測(cè)本地市場(chǎng)在未來(lái)40天中哪一天的日銷(xiāo)售利潤(rùn)最大？最大日銷(xiāo)售利潤(rùn)是多少？
（3）在實(shí)際銷(xiāo)售的前20天中，該公司決定每銷(xiāo)售一件商品就捐款a（a≤5）元利潤(rùn)給希望工程，公司看過(guò)銷(xiāo)售記錄發(fā)現(xiàn)，前20天中每天扣除捐款后的日銷(xiāo)售利潤(rùn)隨時(shí)間x（天）的增大而增大，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）待定系數(shù)法求解可得；
（2）分1≤x≤20和21≤x≤40兩種情況，根據(jù)“總利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×銷(xiāo)售量”列出函數(shù)解析式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得；
（3）根據(jù)前20天的售價(jià)由“總利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×銷(xiāo)售量”列出函數(shù)解析式，并配方成頂點(diǎn)式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)和a≤5可得答案．

解答 解：（1）通過(guò)圖表可知m與x之間的關(guān)系式為一次函數(shù)
設(shè)一次函數(shù)為m=kx+b，把（1.94）和（3.90）代入，解得k=-2，b=96
∴m=-2x+96；

（2）設(shè)銷(xiāo)售利潤(rùn)為W，
當(dāng)1≤x≤20時(shí)，W=$（-2x+96）（\frac{1}{4}x+25-20）$
=$-\frac{1}{2}{（x-14）^2}+578$
當(dāng)x=14W有最大值578
當(dāng)21≤x≤40時(shí)   W=$（-2x+96）（-\frac{1}{2}x+40-20）$
=（x-44）²-16
∵當(dāng)x＜44時(shí)，W隨x增大而減小，
∴x=21時(shí)，W_最大=513，
∴未來(lái)40天中第14天日銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)578元；

（3）由題意   W=$（-2x+96）（\frac{1}{4}x+25-20-a）$
=$-\frac{1}{2}{[x-2（a+7）]^2}+2{（a-17）^2}$
二次函數(shù)開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸是x=2（a+7），
要使日銷(xiāo)售利潤(rùn)隨時(shí)間x的增大而增大，
必須2（a+7）≥20，
∴a≥3，
又a≤5，
∴3≤a≤5．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意找到題目蘊(yùn)含的相等關(guān)系列出函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．