Question

如圖，平行四邊形OABC在平面直角坐標(biāo)系中，A（4，0）、C（1，3）．
（1）求B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，問

∠PCB+∠POA

∠CPO

是否為定值？若是，求出其值；若不是，求其范圍．
（3）若P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，

S △BCP+S △OAP

S 四邊形OABC

是否為定值？若是，求出其值；若不是，求其范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì),坐標(biāo)與圖形性質(zhì)

專題：

分析：（1）由條件可知B點(diǎn)的縱坐標(biāo)和C點(diǎn)的相同，延長(zhǎng)BC交y軸于點(diǎn)D，可求得BD的長(zhǎng)，可求得B點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)P作PE∥BC，交OC于點(diǎn)E，則由平行的性質(zhì)可得出∠PCB+∠POA=∠CPO，可得出結(jié)論；、
（3）設(shè)平行四邊形OABC的AB邊上的高為h，則可表示出△BCP和△OAP的面積和，表示出平行四邊形OABC的面積，可找出其關(guān)系，得出結(jié)論．

解答：解：（1）如圖1，延長(zhǎng)BC交y軸于點(diǎn)D，
∵四邊形OABC為平行四邊形，
∴BC=OA=4，且C點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），
∴CD=1，OD=3，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（5，3）；

（2）如圖2，過點(diǎn)P作PE∥BC，交OC于點(diǎn)E，
∵BC∥OA，
∴PE∥OA，
∴∠BCP=∠CPE，∠POA=∠OPE，
∴∠OPC=∠CPE+OPE=∠BCP+∠POA，
∴

∠PCB+∠POA

∠CPO

=

∠CPO

∠CPO

=1，
∴

∠PCB+∠POA

∠CPO

是定值，其值為1；

（3）設(shè)平行四邊形OABC的AB邊上的高為h，
則S_△BCP=

1

2

BP•h，S_△OAP=

1

2

AP•h，S_{平行四邊形OABC}=AB•h，
所以S_△BCP+S_△OAP=

1

2

（BP+AP）h=

1

2

AB•h=

1

2

S_{平行四邊形OABC}，
所以

S△BCP+S△OAP

S四邊形OABC

=

1 2 S四邊形OABC

S四邊形OABC

=

1

2

，
所以

S △BCP+S △OAP

S 四邊形OABC

是定值，其值為

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，在（2）（3）中找到角或面積之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．