Question

如圖，已知直線PA交⊙O于A、B兩點(diǎn)，AE是⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)，且AC平分∠PAE，過(guò)C作CD⊥PA，垂足為D。
（1）求證：CD為⊙O的切線；
（2）若DC+DA=6，⊙O的直徑為10，求AB的長(zhǎng)度。

Answer 1

解：（1）連接OC，因?yàn)辄c(diǎn)C在⊙O上，0A=OC， 所以∠OCA=∠OAC， 因?yàn)镃D⊥PA， 所以∠CDA=90°， 有∠CAD+∠DCA=90°， 因?yàn)锳C平分∠PAE， 所以∠DAC=∠CAO， 所以∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°， 又因?yàn)辄c(diǎn)C在⊙O上，OC為⊙0的半徑，所以CD為⊙O的切線；
（2）過(guò)O作OF⊥AB，垂足為F， 所以∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°， 所以四邊形OCDF為矩形， 所以O(shè)C=FD，OF=CD， ∵DC+DA=6， 設(shè)AD=x，則OF=CD=6-x， ∵⊙O的直徑為10， ∴DF=OC=5， ∴AF=5-x， 在Rt△AOF中， 由勾股定理得， 即， 化簡(jiǎn)得： 解得x=2或x=9， 由AD＜DF，知， 故x=2， 從而AD=2，AF=5-2=3， ∵OF⊥AB， 由垂徑定理知，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)， ∴AB=2AF=6。