Question

如圖，梯形ABCD中，AB=CD，BC=3AD，E為腰AB上一點(diǎn)．
（1）若CE⊥AB，BE=3AE，AB=CD，求∠B；
（2）設(shè)△BCE和四邊形AECD的面積分別為S₁，S₂，若2S₁=3S₂，求

BE

AE

．

Answer 1

分析：（1）設(shè)AE=x，BE=3x，作DF∥AB，交BC于F，交CE于G，先證明三角形DFC為等邊三角形即可求解；
（2）把梯形ABCD補(bǔ)成平行四邊形ABCF，連接AC，根據(jù)

BE

AE

=

S△BCE

S△BCE

即可求解．

解答：解：（1）設(shè)AE=x，BE=3x，作DF∥AB，交BC于F，交CE于G，
則BF=AD，DF=AB=4x，
CF=BC-BF=2AD，
FG：BE=CF：BC=2：3，
所以，F(xiàn)G=2x，DG=DF-FG=4x-2x=2x，
G為DF邊的中點(diǎn)，
又CE⊥AB，DF∥AB，所以，CG⊥DF，
G為DF邊的垂足，
所以，CD=CF，
又CD=AB=DF，
所以，三角形DFC為等邊三角形，
所以∠DFC=60°，
所以∠B=∠DFC=60°；

（2）如圖，
把梯形ABCD補(bǔ)成平行四邊形ABCF，連接AC，
設(shè)S_△BCE=3s，S_{四邊形AECD}=2s，則DF=2AD，
又設(shè)S_△ACD=x，則S_△ACE=2s-x，S_△CDF=2x，
由S_△ABC=S_△ACF，得3s+2s-x=x+2x，則x=

5

4

s，
∴S_△ACE=2S-

5

4

s，
S_△ACE=

3

4

s，
故

BE

AE

=

S△BCE

S△ACE

=

3S

3 4 S

=4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了梯形及平行四邊形的判定與性質(zhì)，難度較大，主要是巧妙地作輔助線(xiàn)進(jìn)行解題．