Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過(guò)M（1，0）和N（3，0）兩點(diǎn)，且與y軸交于D（0，3），直線l是拋物線的對(duì)稱軸．
（1）求該拋物線的解析式．
（2）若過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0）的直線AB與拋物線的對(duì)稱軸和x軸圍成的三角形面積為6，求此直線的解析式．
（3）點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，⊙P與直線AB和x軸都相切，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過(guò)M（1，0）和N（3，0）兩點(diǎn)，且與y軸交于D（0，3），
∴假設(shè)二次函數(shù)解析式為：y=a（x﹣1）（x﹣3），
將D（0，3），代入y=a（x﹣1）（x﹣3），得：
3=3a，
∴a=1，
∴拋物線的解析式為：y=（x﹣1）（x﹣3）=x²﹣4x+3；
（2）∵過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0）的直線AB與拋物線的對(duì)稱軸和x軸圍成的三角形面積為6，
∴AC×BC=6，
∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過(guò)M（1，0）和N（3，0）兩點(diǎn)，
∴二次函數(shù)對(duì)稱軸為x=2，
∴AC=3，
∴BC=4，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，4），
一次函數(shù)解析式為；y=kx+b，
∴，
解得：，
y=x+；
（3）∵當(dāng)點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，⊙P與直線AB和x軸都相切，

∴MO⊥AB，AM=AC，PM=PC，
∵AC=1+2=3，BC=4，
∴AB=5，AM=3，
∴BM=2，
∵∠MBP=∠ABC，
∠BMP=∠ACB，
∴△ABC∽△CBM，
∴，
∴，
∴PC=1.5，
P點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，1.5）．

解析