Question

6．閱讀材料：
求l+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹³的值．
解：設(shè)S=l+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹²+2²⁰¹³，將等式兩邊同時(shí)乘2，
得2S=2+2²+2³+2⁴+2⁵+…+2²⁰¹³+2²⁰¹⁴．
將下式減去上式，得2S-S=2²⁰¹⁴一l
即S=2²⁰¹⁴一l，
即1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹³=2²⁰¹⁴一l
仿照此法計(jì)算：
（1）1+3+3²+3³+…+3¹⁰⁰
（2）1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}\frac{1}{2^3}$+…+$\frac{1}{{{2^{100}}}}$．

Answer 1

分析 （1）設(shè)S=1+3+3²+3³+…+3¹⁰⁰，兩邊乘以3得出3S=3+3²+3³+3⁴+3⁵+…+3¹⁰⁰+3¹⁰¹，將下式減去上式即可得出答案；
（2）設(shè)S=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{100}}$，兩邊乘以$\frac{1}{2}$得出$\frac{1}{2}$S=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{101}}$，將下式減去上式即可得出答案．

解答 解：（1）設(shè)S=1+3+3²+3³+…+3¹⁰⁰，
兩邊乘以3得：3S=3+3²+3³+3⁴+3⁵+…+3¹⁰⁰+3¹⁰¹，
將下式減去上式，得3S-S=3¹⁰¹-l
即S=$\frac{{3}^{101}-1}{2}$，
即1+3+3²+3³+3⁴+…+3¹⁰⁰=$\frac{{3}^{101}-1}{2}$

（2）設(shè)S=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{100}}$，
兩邊乘以$\frac{1}{2}$得：$\frac{1}{2}$S=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{101}}$，
將下式減去上式得：-$\frac{1}{2}$S=$\frac{1}{{2}^{101}}$-1，
解得：S=2-$\frac{1}{{2}^{100}}$，
即1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{100}}$=2-$\frac{1}{{2}^{100}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算的應(yīng)用，能讀懂題意是解此題的關(guān)鍵，主要培養(yǎng)學(xué)生的理解能力．