Question

如圖1，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm．如果點P由B出發(fā)沿BA方向點A勻速運(yùn)動，同時點Q由A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運(yùn)動，它們的速度均為2cm/s．連接PQ，設(shè)運(yùn)動的時間為t（單位：s）（0≤t≤4）．解答下列問題：

（1）當(dāng)t為何值時，PQ∥BC．
（2）設(shè)△AQP面積為S（單位：cm²），當(dāng)t為何值時，S取得最大值，并求出最大值．
（3）是否存在某時刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．
（4）如圖2，把△AQP沿AP翻折，得到四邊形AQPQ′．那么是否存在某時刻t，使四邊形AQPQ′為菱形？若存在，求出此時菱形的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：∵AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm， ∴由勾股定理逆定理得△ABC為直角三角形，∠C為直角． （1）BP=2t，則AP=10﹣2t． ∵PQ∥BC， ∴，即，解得t=， ∵當(dāng)t=s時，PQ∥BC． （2）如答圖1所示，過P點作PD⊥AC于點D． ∴PD∥BC，∴，即，解得PD=6﹣t． S=×AQ×PD=×2t×（6﹣t）=﹣t2+6t=﹣（t﹣）2+， ∴當(dāng)t=s時，S取得最大值，最大值為cm2． （3）假設(shè)存在某時刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分， 則有S△AQP=S△ABC，而S△ABC=ACBC=24，∴此時S△AQP=12． 由（2）可知，S△AQP=﹣t2+6t， ∴﹣t2+6t=12，化簡得：t2﹣5t+10=0， ∵△=（﹣5）2﹣4×1×10=﹣15＜0，此方程無解， ∴不存在某時刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分． （4）假設(shè)存在時刻t，使四邊形AQPQ′為菱形，則有AQ=PQ=BP=2t． 如答圖2所示，過P點作PD⊥AC于點D，則有PD∥BC， ∴，即， 解得：PD=6﹣t，AD=8﹣t， ∴QD=AD﹣AQ=8﹣t﹣2t=8﹣t． 在Rt△PQD中，由勾股定理得：QD2+PD2=PQ2， 即（8﹣t）2+（6﹣t）2=（2t）2， 化簡得：13t2﹣90t+125=0， 解得：t1=5，t2=， ∵t=5s時，AQ=10cm＞AC，不符合題意，舍去，∴t=． 由（2）可知，S△AQP=﹣t2+6t ∴S菱形AQPQ′=2S△AQP=2×（﹣t2+6t）=2×[﹣×（）2+6×]=cm2． 所以存在時刻t，使四邊形AQPQ′為菱形，此時菱形的面積為cm2．