Question

如圖，PB為⊙O的切線，B為切點，直線PO交⊙于點E、F，過點B作PO的垂線BA，垂足為點D．交⊙O于點A，延長AD與⊙0交于點C，連接BC，AF．
（1）求證：直線PA為⊙O的切線；    
（2）若tan∠F=，求cos∠ACB的值．

Answer 1

解：（1）證明：連接OB，
∵PB與圓O相切，
∴PB⊥OB，即∠OBP=90°，
∵OP⊥AB，
∴D為AB中點，即OP垂直平分AB，
∴PA=PB，
∵在△OAP和△OBP中，
，
∴△OAP≌△OBP（SSS），
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴AP⊥OA，
則直線PA為⊙O的切線；

（2）連接AE，則∠FAE=90°．
∵tan∠F=，
∴=，
∴可設AE=x，AF=2x，
則由勾股定理，得
EF==x，
∵AE•AF=EF•AD，
∴AD=x．
又∵AB⊥EF，
∴AB=2AD=x，
∴Rt△ABC中，AC=x，AB=x，
∴BC=x
∴cos∠ACB==．
分析：（1）連接OB，證明△POB≌△POA，根據全等三角形的對應角相等證得∠OAP=90°，即直線PA為⊙O的切線；    
（2）連接AE，構建直角△AEF．在該直角三角形中利用銳角三角函數的定義、勾股定理可設AE=x，AF=2x，進而可得EF=x；然后由面積法求得AD=x，所以根據垂徑定理求得AB的長度，在Rt△ABC中，根據勾股定理易求BC=x；最后由余弦三角函數的定義求解．
點評：此題考查了切線的判定與性質，全等三角形的判定與性質，熟練掌握切線的判定與性質是解本題的關鍵．