Question

18．如圖，在矩形ABCD中，已知AC、BD相交于O，EF⊥AC于O，且交AB于F，交CD于E，EF=AF．
（1）求∠OFA的度數；
（2）求證：OF=FB．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質得出OA=OB，∠OCE=∠OAF，由ASA證明△OCE≌△OAF，得出OE=OF，證出AF=2OF，由EF⊥AC得出∠OAF=30°，即可得出結果；
（2）由等腰三角形的性質得出∠OBF=∠OAF=30°，由三角形的外角性質得出∠BOF=∠OBF，即可得出結論．

解答 （1）解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，
，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD，AC=BD，
∴OA=OB，
∴∠OCE=∠OAF，
在△OCE和△OAF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OCE=∠OAF}&{\;}\\{OC=OA}&{\;}\\{∠COE=∠AOF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OCE≌△OAF（ASA），
∴OE=OF，
∵EF=AF，
∴AF=2OF，
∵EF⊥AC，
∴∠AOF=90°，
∴∠OAF=30°，
∴∠OFA=90°-30°=60°；
（2）證明：∵OA=OB，
∴∠OBF=∠OAF=30°，
∵∠OFA=∠OBF+∠BOF，
∴∠BOF=30°=∠OBF，
∴OF=FB．

點評 本題考查了矩形的性質，等腰三角形的性質與判定、全等三角形的判定與性質、三角形的外角性質；熟練掌握矩形的性質，證明三角形全等是解決問題的關鍵．