Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)O為圓心，半徑為2的圓與y軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)P（4，2）是⊙O外一點(diǎn)，連接AP，直線PB與⊙O相切于點(diǎn)B，交x軸于點(diǎn)C．

（1）證明PA是⊙O的切線；

（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（3）求直線AB的解析式．

Answer 1

【答案】（1）證明：依題意可知，A（0，2）

∵A（0，2），P（4，2），

∴AP∥x軸 ．

∴∠OAP=90°，且點(diǎn)A在⊙O上，

∴PA是⊙O的切線；

（2）解法一：連接OP，OB，作PE⊥x軸于點(diǎn)E，BD⊥x軸于點(diǎn)D，

∵PB切⊙O于點(diǎn)B，

∴∠OBP=90°，即∠OBP=∠PEC，

又∵OB=PE=2，∠OCB=∠PEC．

∴△OBC≌△PEC．

∴OC=PC．

（或證Rt△OAP≌△OBP，再得到OC=PC也可）

設(shè)OC=PC=x，

則有OE=AP=4，CE=OE－OC=4－x，

在Rt△PCE中，∵PC²=CE²+PE²，

∴x²=(4－x)²+2²，解得x=，……………………  4分

∴BC=CE=4－=，

∵OB·BC=OC·BD，即×2×=××BD，∴BD=．

∴OD===，

由點(diǎn)B在第四象限可知B（，）；

解法二：連接OP，OB，作PE⊥x軸于點(diǎn)E，BD⊥y軸于點(diǎn)D，

∵PB切⊙O于點(diǎn)B，

∴∠OBP=90°即∠OBP=∠PEC．

又∵OB=PE=2，∠OCB=∠PEC，

∴△OBC≌△PEC．

∴OC=PC（或證Rt△OAP≌△OBP，再得到OC=PC也可）

設(shè)OC=PC=x，

則有OE=AP=4，CE=OE－OC=4－x，

在Rt△PCE中，∵PC²=CE²＋PE²,

∴x²=(4－x)²+2²，解得x=，………………………………  4分

∴BC=CE=4－=，

∵BD∥x軸，

∴∠COB=∠OBD，

又∵∠OBC=∠BDO=90°，

∴△OBC∽△BDO， ∴==，

即==．

∴BD=，OD=．

由點(diǎn)B在第四象限可知B（，）；

（3）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，

由A（0，2），B（，），可得；

解得∴直線AB的解析式為y=－2x+2．

【考點(diǎn)解剖】  本題考查了切線的判定、全等、相似、勾股定理、等面積法求邊長(zhǎng)、點(diǎn)的坐標(biāo)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式等．

【解題思路】（1） 點(diǎn)A在圓上，要證PA是圓的切線，只要證PA⊥OA（∠OAP=90°）即可，由A、P兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等可得AP∥x軸，所以有∠OAP+∠AOC=180°得∠OAP=90°；（2） 要求點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)的意義，就是要求出點(diǎn)B到x軸、y軸的距離，自然想到構(gòu)造Rt△OBD，由PB又是⊙O的切線，得Rt△OAP≌△OBP，從而得△OPC為等腰三角形，在Rt△PCE中, PE=OA=2, PC+CE=OE=4,列出關(guān)于CE的方程可求出CE、OC的長(zhǎng)，△OBC的三邊的長(zhǎng)知道了，就可求出高BD,再求OD即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；（3）已知點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)用待定系數(shù)法可求出直線AB的解析式．

【解答過(guò)程】  略.

【方法規(guī)律】  從整體把握?qǐng)D形，找全等、相似、等腰三角形；求線段的長(zhǎng)要從局部入手，若是直角三角形則用勾股定理，若是相似則用比例式求，要掌握一些求線段長(zhǎng)的常用思路和方法.

【關(guān)鍵詞】  切線  點(diǎn)的坐標(biāo)  待定系數(shù)法求解析式