Question

如圖，點C、D分別在⊙O的半徑OA、OB的延長線上，且OA=6，AC=4，CD平行于AB，并與AB相交于MN兩點．若tan∠C=

1

2

，則CN的長為

 

．

Answer 1

考點：垂徑定理,相似三角形的判定與性質,解直角三角形

專題：

分析：過O作OF⊥CD于F，交AB于E，連接OM，根據(jù)解直角三角形和勾股定理求出OE、AE，根據(jù)相似得出比例式，求出CF、OF，根據(jù)勾股定理求出FM，即可求出答案．

解答：解：過O作OF⊥CD于F，交AB于E，連接OM，
∵AB∥CD，
∴OE⊥AB，∠OAB=∠C，
∵tan∠C=

1

2

，
∴tan∠OAB=

1

2

=

OE

AE

，
設OE=x，AE=2x，
在Rt△OEA中，由勾股定理得：6²=x²+（2x）²，
解得：x=

6 5

5

，
則OE=

6 5

5

，AE=

12 5

5

，
∵AB∥CD，
∴△OAE∽△OCF，
∴

AE

CF

=

OA

OC

=

OE

OF

，
∴

12 5 5

CF

=

6

6+4

=

6 5 5

OF

，
∴CF=4

5

，OF=2

5

在Rt△OMF中，由勾股定理得：MF=

62-(2 5 )2

=4，
∵OF⊥CD，OF過O，
∴NF=MF=4，
∴CN=CF+NF=4

5

+4，
故答案為：4

5

+4．

點評：本題考查了相似三角形的性質和判定，勾股定理，解直角三角形，垂徑定理的應用，題目是一道比較好的題目，但是有一定的難度．