Question

（2011•利川市一模）如圖，BD是⊙O的直徑，P是圓外一點，PB、PD分別交⊙O于A、C兩點．
（1）找出圖中的一對相似三角形，并證明；
（2）延長PA到點F，連接FD，若AB=AF=AD，求證：FD是⊙O的切線；
（3）在（2）中，若BC=1，CD=2

2

，試求四邊形ABCD的周長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)ABDC是圓內(nèi)接四邊形，依據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，即可證得△PBC∽△PDA；
（2）易證AD是△BDF中BF邊上的中線，且等于這一邊的一半，即可證得BD與DF垂直，根據(jù)切線的判定定理即可證得；
（3）在直角△BCD中，利用勾股定理即可求得BD的長，△ABD是等腰直角三角形，即可求得AB、AD的長，則周長即可求得．

解答：（1）△PBC∽△PDA．
證明：∵ABDC是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠PBC=∠ADC，
又∵∠P=∠P，
∴△PBC∽△PDA；

（2）證明：∵BA=AF，
∴AD是△BDF的中線，
又∵AD=AB=AF，即AD=

1

2

BF，
∴△BDF是直角三角形，∠BDF=90°，
∴BD⊥DF，
∴FD是⊙O的切線；

（3）解：∵BD是⊙O的直徑，
∴∠BCD=90°，∠BAD=90°
∴直角△BCD中，BD=

BC2+CD2

=

1+(2 2 )2

=3，
∵直角△ABD是等腰直角三角形，
∴AB=AD=

2

2

BD=

3 2

2

，
則四邊形ABCD的周長是：1+2

2

+

3 2

2

+

3 2

2

=1+5

2

．

點評：本題考查了圓周角定義、勾股定理、以及切線的判定定理，證明切線的問題一般的解決方法是根據(jù)切線的判定定理轉(zhuǎn)化成證明垂直的問題．