Question

已知一元二次方程x²-（2a+1）+a²+a=0．
（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（2）若△ABC的兩邊AB、AC的長(zhǎng)是原方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊BC的長(zhǎng)為5，當(dāng)△ABC是等腰三角形時(shí)，求該三角形的周長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系,三角形三邊關(guān)系,等腰三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）證明判別式△＞0，即可解決問題．
（2）首先求出方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，然后根據(jù)等腰三角形的定義，結(jié)合分類討論的數(shù)學(xué)思想逐一解析，即可解決問題．

解答：解：（1）證明：∵△=[-（2a+1）]²-4（a²+a）
=4a²+4a+1-4a²-4a
=1＞0，
∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（2）解方程x²-（2a+1）+a²+a=0，
得：兩個(gè)根分別為a、a+1；
∵a≠a+1，
∴a與a+1只能是一個(gè)為腰，另一個(gè)為底；
若a為腰，則a+1為底，此時(shí)a=5，
∴該三角形的周長(zhǎng)=16；
若a+1為腰，則a為底，此時(shí)a+1=5，a=4；
∴該三角形的周長(zhǎng)=14．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了根的判別式、等腰三角形的定義及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是深入把握題意、大膽推理猜測(cè)、科學(xué)解答論證．