Question

如圖，AB為⊙O的直徑，CD⊥AB，垂足為D，

AC

=

CE

．
（1）求證：AF=CF；
（2）若⊙O的半徑為5，AE=8，求EF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連接BC、AC，先由等弧所對(duì)的圓周角相等得出∠B=∠CAE，再根據(jù)同角的余角相等證明∠B=∠ACD，進(jìn)而得到∠CAE=∠ACD，最后利用等角對(duì)等邊得到結(jié)論AF=CF；
（2）連接AC、OE、OC、BC，設(shè)CO與AE交點(diǎn)為G，先由垂徑定理的推論得出OC⊥AE，EG=AG=

1

2

AE=4，再利用AAS證明△EGO≌△CDO，得出OG=OD，在△OEG中根據(jù)勾股定理求出OG=3，則OD=3，CG=AD=2．設(shè)GF=x，則CF=AF=4-x，然后在△CGF中利用勾股定理列出方程（4-x）²=2²+x²，解方程求出x的值，進(jìn)而得到EF的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：如圖，連接BC、AC，
∵

AC

=

CE

，
∴∠B=∠CAE，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
即∠ACD+∠BCD=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠B+∠BCD=90°，
∴∠B=∠ACD，
∴∠CAE=∠ACD，
∴AF=CF；

（2）解：連接AC、OE、OC、BC，設(shè)CO與AE交點(diǎn)為G，則OC⊥AE，EG=AG=

1

2

AE=4．
∵

AC

=

CE

，
∴∠COE=∠COA，即∠GOE=∠DOC，
又∠OGE=∠ODC=90°，OE=OC，
∴△EGO≌△CDO（AAS），
∴OG=OD．
在△OEG中，∵∠OGE=90°，OE=5，EG=4，
∴OG=

OE2-EG2

=3，
∴OD=OG=3，CG=AD=2．
設(shè)GF=x，則CF=AF=4-x，
在△CGF中，∵∠CGF=90°，
∴CF²=CG²+GF²，即（4-x）²=2²+x²，
解得x=1.5，
∴EF=EG+GF=4+1.5=5.5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系定理，余角的性質(zhì)，等腰三角形的判定，垂徑定理的推論，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．