Question

15．如圖，AC是?ABCD的一條對角線，過AC中點O的直線分別交AD，BC于點E，F(xiàn)．
（1）求證：△AOE≌△COF；
（2）當EF與AC滿足什么條件時，四邊形AFCE是菱形？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形的性質(zhì)得出AD∥BC，得出∠EAO=∠FCO，由ASA即可得出結(jié)論；
（2）由△AOE≌△COF，得出對應邊相等AE=CF，證出四邊形AFCE是平行四邊形，再由對角線EF⊥AC，即可得出四邊形AFCE是菱形．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
∵O是OA的中點，
∴OA=OC，
在△AOE和△COF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠FCO}&{\;}\\{OA=OC}&{\;}\\{∠AOE=∠COF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（ASA）；
（2）解：EF⊥AC時，四邊形AFCE是菱形；理由如下：
∵△AOE≌△COF，
∴AE=CF，
∵AE∥CF，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，
∵EF⊥AC，
∴四邊形AFCE是菱形．

點評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．