Question

2．如圖，拋物線y=ax²+bx+2經(jīng)過點A（-1，0），B（4，0），交y軸于點C；
（1）求拋物線的解析式（用一般式表示）；
（2）點D為y軸右側拋物線上一點，是否存在點D使S_△ABC=$\frac{2}{3}$S_△ABD？若存在請直接給出點D坐標；若不存在請說明理由；
（3）將直線BC繞點B順時針旋轉45°，與拋物線交于另一點E，求BE的長．

Answer 1

分析 （1）由A、B的坐標，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；
（2）由條件可求得點D到x軸的距離，即可求得D點的縱坐標，代入拋物線解析式可求得D點坐標；
（3）由條件可證得BC⊥AC，設直線AC和BE交于點F，過F作FM⊥x軸于點M，則可得BF=BC，利用平行線分線段成比例可求得F點的坐標，利用待定系數(shù)法可求得直線BE解析式，聯(lián)立直線BE和拋物線解析式可求得E點坐標，則可求得BE的長．

解答 解：
（1）∵拋物線y=ax²+bx+2經(jīng)過點A（-1，0），B（4，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+2=0}\\{16a+4b+2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；
（2）由題意可知C（0，2），A（-1，0），B（4，0），
∴AB=5，OC=2，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}$×5×2=5，
∵S_△ABC=$\frac{2}{3}$S_△ABD，
∴S_△ABD=$\frac{3}{2}$×5=$\frac{15}{2}$，
設D（x，y），
∴$\frac{1}{2}$AB•|y|=$\frac{1}{2}$×5|y|=$\frac{15}{2}$，解得|y|=3，
當y=3時，由-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=3，解得x=1或x=2，此時D點坐標為（1，3）或（2，3）；
當y=-3時，由-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=-3，解得x=-2（舍去）或x=5，此時D點坐標為（5，-3）；
綜上可知存在滿足條件的點D，其坐標為（1，3）或（2，3）或（5，-3）；
（3）∵AO=1，OC=2，OB=4，AB=5，
∴AC=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC為直角三角形，即BC⊥AC，
如圖，設直線AC與直線BE交于點F，過F作FM⊥x軸于點M，

由題意可知∠FBC=45°，
∴∠CFB=45°，
∴CF=BC=2$\sqrt{5}$，
∴$\frac{AO}{OM}$=$\frac{AC}{CF}$，即$\frac{1}{OM}$=$\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}$，解得OM=2，$\frac{OC}{FM}$=$\frac{AC}{AF}$，即$\frac{2}{FM}$=$\frac{\sqrt{5}}{3\sqrt{5}}$，解得FM=6，
∴F（2，6），且B（4，0），
設直線BE解析式為y=kx+m，則可得$\left\{\begin{array}{l}{2k+m=6}\\{4k+m=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=12}\end{array}\right.$，
∴直線BE解析式為y=-3x+12，
聯(lián)立直線BE和拋物線解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-3x+12}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=-3}\end{array}\right.$，
∴E（5，-3），
∴BE=$\sqrt{（5-4）^{2}+（-3）^{2}}$=$\sqrt{10}$．

點評 本題為二次函數(shù)的綜合應用，涉及待定系數(shù)法、三角形面積、勾股定理及其逆定理、平行線分線段成比例、函數(shù)圖象的交點、等腰直角三角形的性質、方程思想及分類討論思想等知識．在（1）中注意待定系數(shù)法的應用，在（2）中求得D點的縱坐標是解題的關鍵，在（3）中由條件求得直線BE的解析式是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，特別是最后一問，有一定的難度．