Question

已知拋物線y=-

1

2

x²+m-3與x軸交于A、B兩點，且OA=OC．
（1）求m的值和拋物線的解析式；
（2）是否在拋物線上存在一點M，使S_△MAC=S_△OAC；
（3）是否在拋物線上存在一點M，使S_△MAB=S_△ABC；
（4）是否在直線AC線上存在一點M，使MB+MO的距離最短；
（5）是否在拋物線上存在一點M，使MC=MA；
（6）是否在拋物線上存在一點M，使△MAC是直角三角形．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點

專題：

分析：（1）令x=0求出y的值得到OC的長度，然后表示出OA，再根據(jù)OA=OC列出方程求出m的值，即可得到拋物線解析式；
（2）根據(jù)等底等高的三角形的面積相等，過點O與AC平行的直線與拋物線的交點即為所求的點M；
（3）根據(jù)等底等高的三角形的面積相等，拋物線上到AB的距離等于點C到AB的距離的點即為所求的點M，然后根據(jù)點M的縱坐標利用拋物線解析式計算即可得解；
（4）根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，點O關(guān)于直線AC的對稱點與點B的連線和AC的交點即為所求的點M；
（5）根據(jù)線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得AC的垂直平分線與拋物線的交點即為所求的點M；
（6）先求出∠OCA=45°，再根據(jù)拋物線的對稱性可知∠OCB=45°，然后求出∠ACB=90°，從而確定出點M、B重合時，△MAC是直角三角形；AM⊥AC時，求出AM的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立求解即可．

解答：解：（1）令x=0，則y=m-3，
所以，OC=m-3，
令y=0，則x²=2（m-3），
∵OA=OC，
∴2（m-3）=（m-3）²，
解得m₁=5，m₂=3（舍去），
∴拋物線為y=-

1

2

x²+2；

（2）∵m=5，OA=OC，
∴A（2，0），C（0，2），
∴直線AC的解析式為y=-x+2，
∵S_△MAC=S_△OAC，
∴點M到AC的距離等于點O到AC的距離，
聯(lián)立

y=- 1 2 x2+2 y=-x

，
解得

x1=1+ 5 y1=-1- 5

，

x2=1- 5 y2=-1+ 5

，
∴存在點M（1+

5

，-1-

5

）或（1-

5

，-1+

5

），使S_△MAC=S_△OAC；

（3）∵S_△MAB=S_△ABC，
∴點M到AB的距離等于點C到AB的距離，
∴點M的縱坐標為-2，
∴-

1

2

x²+2=-2，
解得x=±2

2

，
∴點M的坐標為（-2

2

，-2）或（2

2

，-2）；

（4）∵點O關(guān)于直線AC：y=-x+2的對稱點為O′（2，2），
∴直線BO′的解析式為y=

1

2

x+1，
聯(lián)立

y= 1 2 x+1 y=-x+2

，
解得

x= 2 3 y= 4 3

，
∴點M的坐標為（

2

3

，

4

3

）；

（5）∵MC=MA，
∴點M在AC的垂直平分線上，
聯(lián)立

y=x y=- 1 2 x2+2

，
解得

x1=-1+ 5 y1=-1+ 5

，

x2=-1- 5 y2=-1- 5

，
∴點M的坐標為（-1+

5

，-1+

5

）或（-1-

5

，-1-

5

）；

（6）∵OA=OC，
∴∠OCA=45°，
由拋物線的對稱性可知∠OCB=45°，
∴∠ACB=90°，
∴點M與點B重合時，即M（-2，0）時，△MAC是直角三角形，
AM⊥AC時，直線AM的解析式為y=x-2，
聯(lián)立

y=x-2 y=- 1 2 x2+2

，
解得

x1=2 y1=0

（為點A坐標），

x2=-4 y2=-6

，
∴點M的坐標為（-4，-6），
綜上所述，存在點M（-2，0），（-4，-6），使△MAC是直角三角形．

點評：本題考查了拋物線與x軸的交點問題，等底等高的三角形的面積相等，線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點坐標．