Question

在邊長(zhǎng)為6的菱形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→C向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，連接DM交AC于點(diǎn)N.
（1）如左圖，當(dāng)點(diǎn)M在AB邊上時(shí)，連接BN，
         ①求證：△ABN≌△ADN；
         ②若∠ABC = 60°，AM = 4，∠ABN =α ，求點(diǎn)M到AD的距離及tanα的值；
（2）如右圖，若∠ABC = 90°，記點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過(guò)的路程為x（6≤x≤12）， 試問(wèn)：x為何值時(shí)，△ADN為等腰三角形。

Answer 1

（1）①證明：∵四邊形ABCD是菱形 ∴AB- = AD，∠1 =∠2        又∵AN = AN      ∴△ABN ≌ △ADN       ②解：作MH⊥DA交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，由AD∥BC，      得∠MAH =∠ABC = 60°，      在Rt△AMH中，MH = AM·sin60° = 4×sin60° = 2，       ∴點(diǎn)M到AD的距離為2；         易求AH=2，則DH=6+2=8       在Rt△DMH中，tan∠MDH=，      由①知，∠MDH=∠ABN=α.      故tanα= ；

（2）解：∵∠ABC=90°，∴菱形ABCD是正方形 此時(shí)，∠CAD=45°. 下面分三種情形：    Ⅰ）若ND=NA，則∠ADN=∠NAD=45°      此時(shí)，點(diǎn)M恰好與點(diǎn)B重合，得x=6；     Ⅱ）若DN=DA，則∠DNA=∠DAN=45°.      此時(shí)，點(diǎn)M恰好與點(diǎn)C重合，得x=12；     Ⅲ）若AN=AD=6，則∠1=∠2，     由AD∥BC，得∠1=∠4，     又∠2=∠3， ∴∠3=∠4，從而CM=CN，     易求AC=6，∴CM=CN=AC-AN=6-6，        故x = 12-CM=12-（6-6）=18-6 綜上所述：當(dāng)x = 6或12 或18-6時(shí)，△ADN是等腰三角形 。