Question

14．已知二次函數y=ax²-bx-2（a≠0）的圖象的頂點在第四象限，且過點（-1，0），給出下列敘述：
①式子b²＞8a； 
②式子a-b-2＜0；
③存在實數k，滿足x≤k時，函數y的值都隨x的值增大而增大；
④當a-b為整數時，ab的值為1；
其中正確的是（　　）

• A． 0個
• B． 1個
• C． 2個
• D． 3個

Answer 1

分析 根據題意可確定a的符號，根據拋物線的對稱軸的位置可確定b的符號，進而確定與x軸的交點情況即可判斷①；代入（-1，0）求得a+b-2=0，進而求得a+b-2-2b=-2b＞0，即可判斷②；根據二次函數的性質即可判斷③；根據a、b的符號，然后進一步確定a的取值范圍，根據a-b為整數確定a、b的值，從而確定④．

解答 解：∵二次函數y=ax²-bx-2（a≠0）的圖象的頂點在第四象限，且過點（-1，0），
∴拋物線的開口向上可得a＞0，拋物線與x軸有兩個交點，a+b-2=0，-$\frac{2a}$＞0，
∴b＜0，b²-4ac＞0，
∴b²-4a×（-2）＞0，
∴b²＞8a； 故①正確；
由a+b-2=0，b＜0可知：a+b-2-2b=-2b，
即a-b-2=-2b＞0，故②錯誤；
當x＜-$\frac{2a}$時，函數y的值都隨x的增大而減小，
當k=-$\frac{2a}$時，當x＜k時，函數y的值都隨x的值增大而減��；故③錯誤；
∵a+b-2=0，b＜0，
∴b=2-a，a-b=a-（2-a）=2a-2，
于是0＜a＜2，
∴-2＜2a-2＜2，
又a-b為整數，
∴2a-2=-1，0，1，
故a=$\frac{1}{2}$，1，$\frac{3}{2}$，
b=$\frac{3}{2}$，1，$\frac{1}{2}$，
∴ab=$\frac{3}{4}$或1，故④錯誤．
故選B．

點評 本題主要考查了拋物線的性質（開口、對稱軸等）、拋物線上點的坐標特征等知識，運用數形結合的思想是解決本題的關鍵．