Question

16．如圖，正方形的邊長為1dm，剪去四個角后成為一個正八邊形．求這個正八邊形的邊長和面積．

Answer 1

分析 設(shè)正八邊形的邊長為x，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)表示出被剪掉的小直角三角形的直角邊，然后根據(jù)正方形的邊長列方程求出x的值，再求出被剪掉的小直角三角形的直角邊，最后根據(jù)正八邊形的面積等于正方形的面積減去四個小直角三角形的面積列式計算即可得解．

解答 解：設(shè)正八邊形的邊長為x，則被剪掉小直角三角形的直角邊為$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
由題意得，x+2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$x=1，
解得x=$\sqrt{2}$-1，
所以，小直角三角形的直角邊為$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\sqrt{2}$-1）=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以，正八邊形的面積=1²-4×$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=1-2×（$\frac{3}{2}$-$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{2}$-2．
答：這個正八邊形的邊長為$\sqrt{2}$-1，面積為2$\sqrt{2}$-2．

點評 本題考查了正多邊形和圓，等腰直角三角形的性質(zhì)，用正八邊形的邊長表示出等腰直角三角形的直角邊是解題的關(guān)鍵，難點在于根據(jù)正方形的邊長列出方程．