Question

在△ABC中，AB=AC．
（1）如圖1，如果∠BAD=30°，AD是BC上的高，AD=AE，則∠EDC=______
（2）如圖2，如果∠BAD=40°，AD是BC上的高，AD=AE，則∠EDC=______
（3）思考：通過以上兩題，你發(fā)現(xiàn)∠BAD與∠EDC之間有什么關系？請用式子表示：______
（4）如圖3，如果AD不是BC上的高，AD=AE，是否仍有上述關系？如有，請你寫出來，并說明理由．

Answer 1

解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠BAD=30°，
∴∠BAD=∠CAD=30°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=75°，
∴∠DEC=15°．

（2）∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠BAD=40°，
∴∠BAD=∠CAD=40°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=70°，
∴∠DEC=20°．

（3）∠BAD=2∠EDC（或∠EDC=∠BAD）

（4）仍成立，理由如下
∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，
∴∠BAD+∠B=∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠AED+∠EDC=（∠EDC+∠C）+∠EDC
=2∠EDC+∠C
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C
∴∠BAD=2∠EDC．
故分別填15°，20°，∠EDC=∠BAD
分析：（1）等腰三角形三線合一，所以∠DAE=30°，又因為AD=AE，所以∠ADE=∠AED=75°，所以∠DEC=15°．
（2）同理，易證∠ADE=70°，所以∠DEC=20°．
（3）通過（1）（2）題的結論可知，∠BAD=2∠EDC（或∠EDC=∠BAD）．
（4）由于AD=AE，所以∠ADE=∠AED，根據(jù)已知，易證∠BAD+∠B=2∠EDC+∠C，而B=∠C，所以∠BAD=2∠EDC．
點評：本題考查了等腰三角形三線合一這一性質，即等腰三角形底邊上中線、高線以及頂角的平分線三線合一．得到角之間的關系是正確解答本題的關鍵．