Question

如圖平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-x²+x+2 交x軸于A、B兩點，交y軸于點C．
（1）求證：△ABC為直角三角形；
（2）直線x=m（0＜m＜4）在線段OB上移動，交x軸于點D，交拋物線于點E，交BC于點F．求當(dāng)m為何值時，EF=DF？
（3）連接CE和BE后，對于問題“是否存在這樣的點E，使△BCE的面積最大？”小紅同學(xué)認(rèn)為：“當(dāng)E為拋物線的頂點時，△BCE的面積最大”。她的觀點是否正確？提出你的見解，若△BCE的面積存在最大值，請求出點E的坐標(biāo)和△BCE的最大面積．

Answer 1

解: （1）對于y=-x²+x+2
當(dāng)y=0時, y=-x²+x+2=0， 解得x₁=-1, x₂=4
當(dāng)x=0時, y=2
∴A、B、C三點的坐標(biāo)分別為 A（-1,0）,B（4,0）,C（0,2）
∴OA=1，OB= 4，OC=2， ∴AB=OA+OB=5，∴AB²=25
在Rt△AOC中，AC²=OA²+OC²=1²+2²=5
在Rt△COB中，BC²=OC²+OB²=2²+4²=20
∴AC²+BC²=AB²
∴△ABC是以∠ACB為直角的直角三角形。
（2）解：∵直線DE的解析式為直線x=m，∴OD= m，DE⊥OB
∵OC⊥AB，∴OC∥DE，∴△BDE∽△BOC  ∴
∵OC=2，OB=4，BD=OB-OD=4-m，∴DF=
當(dāng)EF=DF時，DE=2DF=4-m，∴E點的坐標(biāo)為（m, 4-m）
∵E點在拋物線
解得m₁=1，m₂=4. ∵0＜m＜4，∴m₂=4舍去， ∴當(dāng)m=1時，EF=DF
（3）解：小紅同學(xué)的觀點是錯誤的
∵OD= m, DE⊥OB， E點在拋物線
∴E點的坐標(biāo)可表示為
∴DE=-m²+m+2 
∵DF=2-m，∴EF=DE-DF=-m ²+2m
∵S_△BCE=S_△CEF+S_△BEF= EF·OD+ EF·BD= EF·（OD+BD） =EF·OB= EF·4=2EF
∴S_△BCE=-m ²+4m=-（m²-4m+4-4）=-（m-2）²+4
∴當(dāng)m=2時, S_△BCE有最大值,△BCE的最大面積為4
∵當(dāng)m=2時,-m ²+m+2=3，∴E點的坐標(biāo)為（2, 3）
而拋物線y=-x²+x+2的頂點坐標(biāo)為（ ，），∴小紅同學(xué)的觀點是錯誤的 。