Question

如圖，∠A=45°，∠BCD=135°，∠AEB與∠AFD的角平分線交于點(diǎn)P，下列結(jié)論：①EP⊥FP；②∠AEB+∠AFD=∠P；③∠A=∠PEB+∠PFD．其中正確的有（　�。﹤�(gè)．

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：延長EP交AB于G，根據(jù)角平分線的定義可得∠1=∠AEP=

1

2

∠AEB，∠2=∠PFD=

1

2

∠AFD，再根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出∠BCF=45°，然后利用三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和分別用∠1和∠2表示出∠EGB和∠EBG，再利用三角形的內(nèi)角和定理列式求出∠1+∠2，然后表示出∠EPF即可判斷出①②正確，再求出∠PEB+∠PFD=45°，判斷出③正確．

解答：解：如圖，延長EP交AB于G，
∵∠AEB與∠AFD的角平分線交于點(diǎn)P，
∴∠1=∠AEP=

1

2

∠AEB，∠2=∠PFD=

1

2

∠AFD，
∵∠BCD=135°，
∴∠BCF=180°-135°=45°，
在△AEG中，∠EGB=∠A+∠AEP=45°+∠1，
在△BCF中，∠EBG=∠AFD+∠BCF=2∠2+45°，
在△BEG中，∠1+∠EGB+∠EBG=180°，
即∠1+45°+∠1+2∠2+45°=180°，
解得∠1+∠2=45°，
在△GFP中，∠EPF=∠EGB+∠2=45°+∠1+∠2=45°+45°=90°，
∴EP⊥FP，故①正確；
∠AEB+∠AFD=2∠1+2∠2=2（∠1+∠2）=90°=∠P，故②正確；
∵∠PEB+∠PFD=∠1+∠2=45°，
∴∠A=∠PEB+∠PFD=45°，故③正確．
綜上所述，正確的結(jié)論有①②③共3個(gè)．
故選D．

點(diǎn)評：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出三角形并求出∠1+∠2=45°是解題的關(guān)鍵．