Question

18．在已知線段AB的同側(cè)構(gòu)造∠FAB=∠GBA，并且在射線AF，BG上分別取點D和E，在線段AB上取點C，連結(jié)DC和EC．

（1）如圖，若AD=3，BE=1，△ADC≌△BCE．在∠FAB=∠GBA=60°或∠FAB=∠GBA=90°兩種情況中任選一種，解決以下問題：
①線段AB的長度是否發(fā)生變化，直接寫出長度或變化范圍；
②∠DCE的度數(shù)是否發(fā)生變化，直接寫出度數(shù)或變化范圍．
（2）若AD=a，BE=b，∠FAB=∠GBA=α，且△ADC和△BCE這兩個三角形全等，請求出：
①線段AB的長度或取值范圍，并說明理由；
②∠DCE的度數(shù)或取值范圍，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）選第一個圖：①由全等三角形的性質(zhì)得出AC=BE=1，BC=AD=3，得出AB=AC+BC=4；
 ②由全等三角形的性質(zhì)得出∠ADC=∠BCE，由三角形的外角性質(zhì)得出∠BCD=∠A+∠ADC=∠DCE+∠BCE，得出∠DCE=∠A=60°即可；
若選第二個圖時，方法同第一個圖的解法；
（2）當(dāng)a≠b時，①由全等三角形的性質(zhì)得出AC=BE=b，BC=AD=a，得出AB=AC+BC=a+b即可；
②由全等三角形的性質(zhì)得出∠ADC=∠BCE，由三角形的外角性質(zhì)得出∠BCD=∠A+∠ADC=∠DCE+∠BCE，得出∠DCE=∠A=α即可；
當(dāng)a=b時，①AB＞0，由全等三角形的性質(zhì)得出AC=BE=b，BC=AD=a，得出AB=AC+BC=a+b＞0即可；
②由全等三角形的性質(zhì)得出∠ADC=∠BCE，由三角形的外角性質(zhì)得出∠BCD=∠A+∠ADC=∠DCE+∠BCE，得出∠DCE=∠A=α，即可得出0°＜∠DCE＜180°．

解答 解：（1）選第一個圖：
①線段AB的長度不發(fā)生變化，AB=4；理由如下：
∵AD=3，BE=1，△ADC≌△BCE．
∴AC=BE=1，BC=AD=3，
∴AB=AC+BC=4；
 ②∠DCE的度數(shù)不發(fā)生變化，∠DCE=60°；理由如下：
∵△ADC≌△BCE，
∴∠ADC=∠BCE，
∵∠BCD=∠A+∠ADC=∠DCE+∠BCE，
∴∠DCE=∠A=60°；
若選第二個圖：
①線段AB的長度不發(fā)生變化，AB=4；理由如下：
∵AD=3，BE=1，△ADC≌△BCE．
∴AC=BE=1，BC=AD=3，
∴AB=AC+BC=4；
 ②∠DCE的度數(shù)不發(fā)生變化，∠DCE=90°；理由如下：
∵△ADC≌△BCE，
∴∠ADC=∠BCE，
∵∠BCD=∠A+∠ADC=∠DCE+∠BCE，
∴∠DCE=∠A=90°；
（2）當(dāng)a≠b時，①AB=a+b，理由如下：
∵AD=a，BE=b，△ADC≌△BCE．
∴AC=BE=b，BC=AD=a，
∴AB=AC+BC=a+b；
②∠DCE=α，理由如下：
∵△ADC≌△BCE，
∴∠ADC=∠BCE，
∵∠BCD=∠A+∠ADC=∠DCE+∠BCE，
∴∠DCE=∠A=α；
當(dāng)a=b時，①AB＞0，理由如下：
∵AD=a，BE=b，△ADC≌△BCE．
∴AC=BE=b，BC=AD=a，
∴AB=AC+BC=a+b＞0；
②0°＜∠DCE＜180°．理由如下：
∵△ADC≌△BCE，
∴∠ADC=∠BCE，
∵∠BCD=∠A+∠ADC=∠DCE+∠BCE，
∴∠DCE=∠A=α，
∵0°＜α＜180°．
∴0°＜∠DCE＜180°．

點評 本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)等知識；熟練掌握全等三角形的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．