Question

如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，點P沿AB邊從點A開始向B以2cm/s速度移動；點Q沿DA邊從點D開始向A以1cm/s的速度移動．如果P、Q同時出發(fā)，用t(s)表示移動的時間(0≤t≤6)，那么：(1)當t為何值時，△QAP為等腰直角三角形？(2)求四邊形QAPC的面積，并提出一個與計算結果有關的結論；(3)當t為何值時，以Q、A、P為頂點的三角形與△ABC相似？

Answer 1

答案：
解析：

解答：(1)對于任何時刻t，AP＝2t，DQ＝t，QA＝6－t，當AQ＝AP時，△QAP為等腰直角三角形，即6－t＝2t，解得t＝2，所以，當t＝2s時，△QAP為等腰直角三角形． 　　(2)在△QAC中，QA＝6－t，QA邊上的高DC＝12，所以S△QAC＝QA·DC＝(6－t)·12＝36－6t．在△APC中，AP＝2t，AP邊上的高BC＝6，所以S△APC＝AP·BC＝·2t·6＝6t，所以S四邊形QAPC＝S△QAC＋S△APC＝36－6t＋6t＝36(cm2)， 　　由計算結果發(fā)現(xiàn)： 　　在P、Q兩點移動過程中，四邊形QAPC的面積始終保持不變．(也可提出：P、Q兩點到對角線AC的距離之和保持不變). 　　(3)根據(jù)題意，可分為兩種情況研究． 　�、佼�＝時，△QAP∽△ABC．那么＝，解得t＝1.2．即當t＝1.2s時，△QAP∽△ABC, 　　②當＝時，△PAQ∽△ABC．那么＝，解得t＝3．即當t＝3s時，△PAQ∽△ABC,所以，當t＝1.2s或t＝3s時，以點Q、A、P為頂點的三角形與△ABC相似． 　　分析：(1)已知∠PAQ＝，若使△QAP為等腰直角三角形，只需滿足AP＝AQ；(2)求四邊形的面積，因形狀不規(guī)則，可采用“割補法”；(3)要考慮的兩個相似三角形，除了對應的直角外，另外的兩個對應關系沒有明確，所以要分兩種情況研究．

提示：

注意：相似三角形作為數(shù)學的一個重大分支，是中考的必考內(nèi)容，題型包括選擇、填空、解答，涉及的內(nèi)容廣而全，而以相似三角形為背景的綜合題更是常見的熱點題型．