Question

如圖，拋物線與x軸交于A．B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)C與點(diǎn)F關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，直線AF交y軸于點(diǎn)E，|OC|：|OA|=5：1．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求直線AF的解析式；
（3）在直線AF上是否存在點(diǎn)P，使△CFP是直角三角形？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由

Answer 1

解：（1）∵y=x²﹣bx﹣5，
∴OC|=5，
∵OC|：|OA|=5：1，
∴OA|=1，即A（﹣1，0），
把A（﹣1，0）代入y=x²﹣bx﹣5得
（﹣1）²+b﹣5=0，
解得b=4，
拋物線的解析式為y=x²﹣4x﹣5；
（2）∵點(diǎn)C與點(diǎn)F關(guān)于對稱軸對稱，C（0，﹣5），設(shè)F（x₀，﹣5），
∴x₀²﹣4x₀﹣5=﹣5，
解得x₀=0（舍去），
或x₀=4，
∴F（4，﹣5），
∴對稱軸為x=2，
設(shè)直線AF的解析式為y=kx+b，
把F（4，﹣5），A（﹣1，0），代入y=kx+b，
得，
解得，
所以，直線FA的解析式為y=﹣x﹣1；
（3）存在．
理由如下：
①當(dāng)∠FCP=90°時，點(diǎn)P與點(diǎn)E重合，
∵點(diǎn)E是直線y=﹣x﹣1與y軸的交點(diǎn)，
∴E（0，﹣1），
∴P（0，﹣1），…
②當(dāng)CF是斜邊時，過點(diǎn)C作CP⊥AF于點(diǎn)P（x₁，﹣x₁﹣1），
∵∠ECF=90°，E（0，﹣1），C（0，﹣5），F(xiàn)（4，﹣5），
∴CE=CF，
∴EP=EF，
∴CP=PF，
∴點(diǎn)P在拋物線的對稱軸上，…
∴x₁=2，
把x₁=2代入y=﹣x﹣1，得y=﹣3，
∴P（2，﹣3），
綜上所述，直線AF上存在點(diǎn)P（0，﹣1）或（0，﹣1）使△CFP是直角三角形．